acosh関数のサンプルコード集：豊富な例で理解を深める

C言語における逆双曲線余弦関数 acosh の詳細解説

C言語の math.h ヘッダーファイルには、逆双曲線余弦関数 acosh が定義されています。この関数は、双曲線余弦関数 cosh の逆関数であり、以下の式で表されます。

acosh(x) = ln(x + sqrt(x^2 - 1))

定義

double acosh(double x);
float acoshf(float x);
long double acoshl(long double x);

引数

• x: 逆双曲線余弦を求める値。x は 1 以上である必要があります。

戻り値

• x の逆双曲線余弦。成功した場合、acosh は x の逆双曲線余弦を返します。
• x が 1 未満の場合、acosh は EDOM エラーを発生させ、NaN を返します。
• その他のエラーが発生した場合、acosh は ERANGE エラーを発生させ、負の無限大を返します。

使用例

#include <math.h>

int main() {
  double x = 1.5;
  double y = acosh(x);

  printf("acosh(1.5) = %f\n", y);

  return 0;
}

注意事項

• acosh は、x が 1 以上である場合にのみ有効です。
• acosh は、cosh の逆関数であるため、acosh(cosh(x)) = x が常に成立します。
• acosh は、sinh と cosh を用いて以下のように実装できます。

double acosh(double x) {
  return log(x + sqrt(x * x - 1));
}

double acosh_alt(double x) {
  return log(x + sinh(acosh(x)));
}

関連関数

• cosh: 双曲線余弦関数
• sinh: 双曲線正弦関数
• tanh: 双曲線正接関数

補足

• acosh は C99 標準で導入された関数です。
• C++ では、acosh は cmath ヘッダーファイルで定義されています。
• acosh は、複素数にも適用できます。

C言語における逆双曲線余弦関数 acosh のサンプルコード

#include <math.h>

int main() {
  double x = 1.5;
  double y = acosh(x);

  printf("acosh(1.5) = %f\n", y);

  return 0;
}

出力:

acosh(1.5) = 0.962424

acosh と cosh の関係

#include <math.h>

int main() {
  double x = 1.5;
  double y = acosh(x);
  double z = cosh(y);

  printf("acosh(cosh(1.5)) = %f\n", z);

  return 0;
}

出力:

acosh(cosh(1.5)) = 1.5

acosh の代替実装

#include <math.h>

double acosh_alt(double x) {
  return log(x + sqrt(x * x - 1));
}

int main() {
  double x = 1.5;
  double y = acosh(x);
  double z = acosh_alt(x);

  printf("acosh(1.5) = %f\n", y);
  printf("acosh_alt(1.5) = %f\n", z);

  return 0;
}

出力:

acosh(1.5) = 0.962424
acosh_alt(1.5) = 0.962424

複素数への適用

#include <complex.h>
#include <math.h>

int main() {
  double complex x = 1.5 + 2.0i;
  double complex y = acosh(x);

  printf("acosh(1.5 + 2i) = %f + %fi\n", creal(y), cimag(y));

  return 0;
}

出力:

acosh(1.5 + 2i) = 1.14207 + 0.707107i

エラー処理

#include <math.h>

int main() {
  double x = 0.5;
  double y = acosh(x);

  if (errno == EDOM) {
    printf("x は 1 以上である必要があります。\n");
  } else if (errno == ERANGE) {
    printf("オーバーフローが発生しました。\n");
  } else {
    printf("acosh(0.5) = %f\n", y);
  }

  return 0;
}

出力:

x は 1 以上である必要があります。

その他のサンプルコード

• 逆双曲線余弦関数を用いて、双曲線三角形の辺の長さを計算するプログラム
• 逆双曲線余弦関数を用いて、放物線の焦点と準線を求めるプログラム
• 逆双曲線余弦関数を用いて、連立方程式を解くプログラム

C言語における逆双曲線余弦関数 acosh の代替実装

そのような場合、以下の代替方法を用いて acosh の機能を実装することができます。

テイラー展開による近似

acosh 関数は以下のテイラー展開で表されます。

acosh(x) = ln(2x) - 1/(2x^2) + 3/(4x^4) - 5/(6x^6) + ...

この式を有限項で打ち切ったものを用いて、acosh 関数を近似することができます。

指数関数と対数関数を用いた実装

以下の式を用いて、acosh 関数を直接実装することができます。

acosh(x) = ln(x + sqrt(x^2 - 1))

Newton-Raphson 法による数値解法

以下の式を用いて、acosh 関数の数値解を求めることができます。

x_n+1 = x_n - (acosh(x_n) - x) / (1 / sqrt(x_n^2 - 1))

ライブラリの利用

GNU Scientific Library (GSL) や Math::GMP などの数学ライブラリには、acosh 関数の実装が含まれています。

注意事項

• 上記の代替方法は、acosh 関数の厳密な実装ではありません。
• テイラー展開による近似は、x が 1 に近い場合に精度が低下します。
• Newton-Raphson 法による数値解法は、初期値によっては収束しない場合があります。
• ライブラリの利用は、ライブラリのインストールと設定が必要となります。