NumPyによるエルミート多項式の積分

NumPy polynomial.hermite_e.HermiteE.integ() 関数の詳細解説

関数の概要

• 機能: エルミート多項式の積分を実行
• 引数:
  • p: 積分するエルミート多項式を表す係数のリスト
  • m: 積分次数 (デフォルトは 1)
  • lbnd: 下限 (デフォルトは -1)
• 戻り値: 積分結果

使用例

import numpy as np

# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])

# 2回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, m=2)

# 結果
print(integ)

この例では、3次エルミート多項式 p を2回積分し、結果を出力します。

詳細解説

エルミート多項式は、物理学や数学などの分野で広く用いられる特殊関数です。以下の式で定義されます。

H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}

ここで、n は次数を表します。

HermiteE.integ() 関数は、ガウス求積法を用いてエルミート多項式の積分を実行します。ガウス求積法は、数値積分を行うための数値解析手法です。

この関数は、以下の式に基づいて積分結果を計算します。

∫_a^b f(x) dx ≈ ∑_{i=0}^{n-1} w_i f(x_i)

ここで、

• a: 下限
• b: 上限
• f(x): 積分対象関数
• n: ガウス求積法の次数
• w_i: ガウス求積法の重み
• x_i: ガウス求積法の節点

HermiteE.integ() 関数は、デフォルトで n=10 のガウス求積法を使用します。

引数 lbnd と ubnd

lbnd と ubnd は、積分範囲の下限と上限を指定します。デフォルトでは、それぞれ -1 と 1 に設定されています。

応用例

HermiteE.integ() 関数は、以下の様な応用例があります。

• エルミート多項式の定積分
• エルミート多項式による関数の近似
• 確率密度関数の積分

補足

• この解説は、NumPy バージョン 1.22.3 を基に作成されています。
• より詳細な情報は、NumPy ドキュメントを参照してください。

NumPy polynomial.hermite_e.HermiteE.integ() 関数のサンプルコード

3次エルミート多項式の2回積分

import numpy as np

# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])

# 2回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, m=2)

# 結果
print(integ)

積分範囲の指定

import numpy as np

# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])

# 0から1までの積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, lbnd=0, ubnd=1)

# 結果
print(integ)

このコードは、3次エルミート多項式 p を0から1までの範囲で積分し、結果を出力します。

積分結果の利用

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])

# 2回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, m=2)

# グラフ描画
x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = integ(x)

plt.plot(x, y)
plt.show()

このコードは、3次エルミート多項式 p を2回積分し、結果をグラフで表示します。

ガウス求積法の次数変更

import numpy as np

# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])

# 50次ガウス求積法による2回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, m=2, n=50)

# 結果
print(integ)

このコードは、50次ガウス求積法を用いて3次エルミート多項式 p を2回積分し、結果を出力します。

確率密度関数の積分

import numpy as np

# 標準正規分布の確率密度関数
def pdf(x):
  return 1 / np.sqrt(2 * np.pi) * np.exp(-x**2 / 2)

# 確率密度関数の積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(pdf, lbnd=-3, ubnd=3)

# 結果
print(integ)

このコードは、標準正規分布の確率密度関数を-3から3までの範囲で積分し、結果を出力します。

多項式のリスト

import numpy as np

# 多項式のリスト
p = [np.array([1, 2]), np.array([3, 4, 5])]

# それぞれの多項式を1回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p)

# 結果
print(integ)

このコードは、多項式のリスト p の各要素を1回積分し、結果を出力します。

応用

これらのサンプルコードは、NumPy polynomial.hermite_e.HermiteE.integ() 関数の使い方を理解するだけでなく、様々な応用例に応用することができます。

補足

• これらのサンプルコードは、NumPy バージョン 1.22.3 を基に作成されています。

NumPy polynomial.hermite_e.HermiteE.integ() 関数の代替方法

手計算

次数が低いエルミート多項式の場合、手計算で積分を行うことができます。

SymPy は、シンボリック計算を行うためのPythonライブラリです。SymPyを用いて、エルミート多項式の積分を以下のように実行できます。

import sympy

# 3次エルミート多項式
p = sympy.Poly(sympy.Symbol('x')**3 + 2*sympy.Symbol('x')**2 + 3*sympy.Symbol('x') + 4)

# 2回積分
integ = sympy.integrate(p, sympy.Symbol('x'), 2)

# 結果
print(integ)

SciPy は、科学計算を行うためのPythonライブラリです。SciPyを用いて、エルミート多項式の積分を以下のように実行できます。

import scipy.integrate

# 3次エルミート多項式の係数
p = [1, 2, 3, 4]

# 2回積分
integ, _ = scipy.integrate.quad(lambda x: np.polyval(p, x), -1, 1)

# 結果
print(integ)

ガウス求積法の自作

NumPy の polynomial.hermite_e.HermiteE.integ() 関数は、ガウス求積法を用いてエルミート多項式の積分を行います。ガウス求積法を自作することで、より柔軟な積分を行うことができます。

その他のライブラリ

他にも、エルミート多項式の積分を行うライブラリがいくつか存在します。

選択基準

どの方法を選択するかは、以下の要素を考慮する必要があります。

• 積分するエルミート多項式の次数
• 積分範囲
• 精度
• 計算時間
• 使いやすさ

補足

• これらの方法は、NumPy polynomial.hermite_e.HermiteE.integ() 関数と同様に、様々な応用例に応用することができます。
• より詳細な情報は、各ライブラリのドキュメントを参照してください。