Chebyshev.trim() だけじゃない：NumPyによるチェビシェフ多項式の次数削減方法

NumPyのpolynomial.chebyshev.Chebyshev.trim()解説

Chebyshev.trim()関数は、以下の2つの役割を果たします。

• 精度を維持しながら多項式の次数を削減する:
  • 係数の絶対値が指定されたしきい値よりも小さい項を削除します。
  • 削除された項の影響は、残りの項で補償されます。
• 多項式の安定性を向上させる:
  • 高次の項は、数値誤差の影響を受けやすいため、除去することで安定性を向上させます。

Chebyshev.trim()関数は、以下の引数を受け取ります。

• c: 係数ベクトル
• tol: しきい値
• rtol: 相対しきい値

tolとrtolの両方が指定された場合は、両方の条件を満たす項のみが削除されます。

import numpy as np

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

# しきい値
tol = 1e-6

# 相対しきい値
rtol = 1e-3

# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(tol, rtol)

# 結果
print(trimmed_c)

• tolとrtolの値は、問題に応じて調整する必要があります。
• 値を小さくしすぎると、精度が低下する可能性があります。
• 値を大きくしすぎると、削減効果が低くなります。

まとめ

Chebyshev.trim()関数は、チェビシェフ多項式の次数を削減するための便利な関数です。この関数を使いこなすことで、計算効率を向上させ、多項式の安定性を向上させることができます。

NumPyのpolynomial.chebyshev.Chebyshev.trim()サンプルコード

サンプルコード1: しきい値による次数削減

import numpy as np

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])

# しきい値
tol = 1e-8

# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(tol)

# 結果
print(trimmed_c)

# 出力:
#   [1. 2. 3.]

サンプルコード2: 相対しきい値による次数削減

import numpy as np

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])

# 相対しきい値
rtol = 1e-3

# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(rtol=rtol)

# 結果
print(trimmed_c)

# 出力:
#   [1. 2. 3.]

この例では、rtol=1e-3として、係数の相対値が1e-3よりも小さい項を削除しています。

サンプルコード3: 両方のしきい値による次数削減

import numpy as np

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])

# しきい値
tol = 1e-8

# 相対しきい値
rtol = 1e-3

# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(tol, rtol)

# 結果
print(trimmed_c)

# 出力:
#   [1. 2. 3.]

この例では、tol=1e-8とrtol=1e-3の両方の条件を満たす項のみを削除しています。

サンプルコード4: 多項式の評価

import numpy as np

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3])

# Chebyshev多項式
chebyshev = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c)

# xの値
x = np.linspace(-1, 1, 100)

# 多項式の評価
y = chebyshev(x)

# グラフの描画
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, y)
plt.show()

この例では、3次チェビシェフ多項式を生成し、-1から1までの範囲で100個の点における値を評価してグラフを描画しています。

サンプルコード5: trim()による次数削減後の評価

import numpy as np

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])

# しきい値
tol = 1e-8

# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(tol)

# Chebyshev多項式
trimmed_chebyshev = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(trimmed_c)

# xの値
x = np.linspace(-1, 1, 100)

# 多項式の評価
y_trimmed = trimmed_chebyshev(x)

# グラフの描画
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, y, label="Original")
plt.plot(x, y_trimmed, label="Trimmed")
plt.legend()
plt.show()

この例では、サンプルコード4と同様に3次チェビシェフ多項式を生成し、-1から1までの範囲で100個の点における値を評価してグラフを描画しています。さらに、tol=1e-8としてtrim()を実行し、次数削減後の多項式も評価してグラフに

NumPyのpolynomial.chebyshev.Chebyshev.trim()以外の次数削減方法

項の絶対値の比較

Chebyshev.trim()と同様に、各項の絶対値を比較し、小さい項を削除する方法です。

def trim_chebyshev(c, tol):
  """
  項の絶対値を比較して、小さい項を削除する

  Args:
    c: 係数ベクトル
    tol: しきい値

  Returns:
    次数削減後の係数ベクトル
  """

  trimmed_c = []
  for c_i in c:
    if abs(c_i) > tol:
      trimmed_c.append(c_i)

  return trimmed_c

# 例
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
tol = 1e-8
trimmed_c = trim_chebyshev(c, tol)

ルンゲ・クッタ法などの数値積分を用いて、多項式の定積分を計算し、その値が小さい項を削除する方法です。

def trim_chebyshev_integral(c, tol):
  """
  ルンゲ・クッタ法による数値積分を用いて、小さい項を削除する

  Args:
    c: 係数ベクトル
    tol: しきい値

  Returns:
    次数削減後の係数ベクトル
  """

  trimmed_c = []
  for c_i in c:
    integral = 0
    # ルンゲ・クッタ法による数値積分
    for x in np.linspace(-1, 1, 100):
      integral += c_i * np.cos(x * np.pi * (i + 1))

    if abs(integral) > tol:
      trimmed_c.append(c_i)

  return trimmed_c

# 例
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
tol = 1e-8
trimmed_c = trim_chebyshev_integral(c, tol)

スパース化ライブラリの利用

SciPyなどのスパース化ライブラリを用いて、係数ベクトルをスパース行列に変換し、小さい要素を削除する方法です。

from scipy.sparse import spdiags, csr_matrix

def trim_chebyshev_sparse(c, tol):
  """
  スパース化ライブラリを用いて、小さい要素を削除する

  Args:
    c: 係数ベクトル
    tol: しきい値

  Returns:
    次数削減後の係数ベクトル
  """

  diag = np.array(c)
  diag[abs(diag) < tol] = 0
  D = spdiags(diag, 0, len(c), len(c))
  S = csr_matrix(D)

  # スパース行列の要素を削減
  S.data[abs(S.data) < tol] = 0

  return S.diagonal()

# 例
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
tol = 1e-8
trimmed_c = trim_chebyshev_sparse(c, tol)

これらの方法は、それぞれ異なるメリットとデメリットがあります。

項の絶対値の比較

• メリット:
  • シンプルで実装が容易
  • 計算速度が速い
• デメリット:
  • 精度が低い場合がある

ルンゲ・クッタ法による数値積分

• メリット:
  • 項の絶対値の比較よりも精度が高い
• デメリット:

スパース化ライブラリの利用

• メリット: *