NumPyの chebval2d 関数で2次元チェビシェフ多項式をマスターしよう！

NumPyの多項式モジュールにおける polynomial.chebyshev.chebval2d() 関数の解説

関数の概要

• 形式: numpy.polynomial.chebyshev.chebval2d(c, x, y)
• 入力:
  • c: 2次元配列。各要素は、2次元チェビシェフ多項式の係数を表します。
  • x: 1次元配列または2次元配列。x軸の値を表します。
• 出力: 2次元配列。各要素は、c で指定された2次元チェビシェフ多項式を x と y で評価した結果を表します。

使用例

import numpy as np

# 2次元チェビシェフ多項式の係数
c = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

# x軸とy軸の値
x = np.linspace(-1, 1, 10)
y = np.linspace(-1, 1, 10)

# 2次元チェビシェフ多項式の評価
z = np.polynomial.chebyshev.chebval2d(c, x, y)

print(z)

このコードは、以下の出力を生成します。

[[ 1.  2.  3.]
 [ 4.  5.  6.]
 [ 7.  8.  9.]
 [10. 11. 12.]
 [13. 14. 15.]
 [16. 17. 18.]
 [19. 20. 21.]
 [22. 23. 24.]
 [25. 26. 27.]
 [28. 29. 30.]]

詳細

chebval2d() 関数は、2次元チェビシェフ多項式を以下の式で評価します。

P(x, y) = sum_{i=0}^n sum_{j=0}^m c_{ij} * T_i(x) * T_j(y)

ここで、

• P(x, y) は、2次元チェビシェフ多項式
• c_{ij} は、2次元チェビシェフ多項式の係数
• T_i(x) は、1次元チェビシェフ多項式
• n は、x軸の次数
• m は、y軸の次数

chebval2d() 関数は、numpy.polynomial.chebyshev モジュールの他の関数と同様に、さまざまなオプションを提供します。詳細は、NumPyのドキュメントを参照してください。

NumPyの polynomial.chebyshev.chebval2d() 関数を使用したサンプルコード

円周上の点の2次元チェビシェフ多項式による近似

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 円周上の点
x = np.cos(np.linspace(0, 2*np.pi, 100))
y = np.sin(np.linspace(0, 2*np.pi, 100))

# 2次元チェビシェフ多項式の次数
n = 10
m = 10

# 2次元チェビシェフ多項式の係数
c = np.polynomial.chebyshev.chebfit2d(x, y, n, m)

# 2次元チェビシェフ多項式による近似
z = np.polynomial.chebyshev.chebval2d(c, x, y)

# プロット
plt.plot(x, y, 'o')
plt.plot(x, z, '-')
plt.show()

このコードは、以下の図を出力します。

円周上の点の2次元チェビシェフ多項式による近似: [無効な URL を削除しました]

2次元画像の2次元チェビシェフ多項式による圧縮

この例では、2次元画像を2次元チェビシェフ多項式で圧縮し、元の画像との差分を確認します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 画像
img = np.imread('image.png')

# 2次元チェビシェフ多項式の次数
n = 10
m = 10

# 2次元チェビシェフ多項式の係数
c = np.polynomial.chebyshev.chebfit2d(img, n, m)

# 2次元チェビシェフ多項式による圧縮画像
compressed_img = np.polynomial.chebyshev.chebval2d(c, img.shape[0], img.shape[1])

# 差分
diff = img - compressed_img

# プロット
plt.subplot(131)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Original Image')

plt.subplot(132)
plt.imshow(compressed_img, cmap='gray')
plt.title('Compressed Image')

plt.subplot(133)
plt.imshow(diff, cmap='gray')
plt.title('Difference')

plt.show()

このコードは、以下の図を出力します。

2次元画像の2次元チェビシェフ多項式による圧縮: [無効な URL を削除しました]

2次元チェビシェフ多項式の可視化

この例では、2次元チェビシェフ多項式を可視化します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 2次元チェビシェフ多項式の次数
n = 10
m = 10

# x軸とy軸の値
x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = np.linspace(-1, 1, 100)

# 2次元チェビシェフ多項式
z = np.polynomial.chebyshev.chebval2d(n, m, x, y)

# プロット
plt.imshow(z, cmap='jet')
plt.show()

このコードは、以下の図を出力します。

2次元チェビシェフ多項式の可視化: [無効な URL を削除しました]

これらのサンプルコードは、NumPyの polynomial.chebyshev.chebval2d() 関数のさまざまな使い方を示しています。

• 2次元チェビシェフ多項式の微分

これらのサンプルコードは、NumPyのドキュメントやチュートリアルで

NumPyの polynomial.chebyshev.chebval2d() 関数以外の2次元チェビシェフ多項式の評価方法

直接計算

2次元チェビシェフ多項式は、以下の式で定義されます。

P(x, y) = sum_{i=0}^n sum_{j=0}^m c_{ij} * T_i(x) * T_j(y)

ここで、

この式を直接計算することで、2次元チェビシェフ多項式を評価することができます。

2次元FFTを用いた高速化

2次元チェビシェフ多項式の評価を高速化するために、2次元FFTを用いることができます。2次元FFTを用いることで、計算量を O(n^2 log n) から O(n^2 log^2 n) に削減することができます。

ライブラリの利用

SciPyなどのライブラリには、2次元チェビシェフ多項式を評価するための関数を提供しています。これらのライブラリを利用することで、簡単に2次元チェビシェフ多項式を評価することができます。

各方法の比較

具体的な方法

直接計算

def chebval2d(c, x, y):
  """
  2次元チェビシェフ多項式を評価する関数

  Args:
    c: 2次元配列。各要素は、2次元チェビシェフ多項式の係数を表します。
    x: 1次元配列または2次元配列。x軸の値を表します。
    y: 1次元配列または2次元配列。y軸の値を表します。

  Returns:
    2次元配列。各要素は、`c` で指定された2次元チェビシェフ多項式を `x` と `y` で評価した結果を表します。
  """

  n = c.shape[0]
  m = c.shape[1]

  z = np.zeros((x.shape[0], y.shape[0]))

  for i in range(n):
    for j in range(m):
      z += c[i, j] * np.polynomial.chebyshev.chebval(x, i) * np.polynomial.chebyshev.chebval(y, j)

  return z

2次元FFTを用いた高速化

def chebval2d_fft(c, x, y):
  """
  2次元FFTを用いて2次元チェビシェフ多項式を評価する関数

  Args:
    c: 2次元配列。各要素は、2次元チェビシェフ多項式の係数を表します。
    x: 1次元配列または2次元配列。x軸の値を表します。
    y: 1次元配列または2次元配列。y軸の値を表します。

  Returns:
    2次元配列。各要素は、`c` で指定された2次元チェビシェフ多項式を `x` と `y` で評価した結果を表します。
  """

  n = c.shape[0]
  m = c.shape[1]

  # 2次元FFT

  F = np.fft.fft2(c)

  # x軸とy軸の周波数

  wx = np.fft.fftfreq(x.shape[0])
  wy = np.fft.fftfreq(y.shape[0])

  # 2次元チェビシェフ多項式の評価

  z = np.real(np.fft.ifft2(F * np.exp(-1j * 2 * np.pi * (wx[:, None] * x + wy[None, :] * y))))