NumPyで3次元空間における多項式計算： polynomial.hermite_e.hermeval3d() 関数の詳細解説

NumPyの多項式: polynomial.hermite_e.hermeval3d() の詳細解説

polynomial.hermite_e.hermeval3d() は、3次元空間におけるエルミート多項式 He_n(x, y, z) の値を計算する NumPy 関数です。この関数は、3次元空間における点 (x, y, z) における多項式の値を、与えられた次数 n と係数ベクトル c を用いて計算します。

NumPy のインポート

import numpy as np

関数シグネチャ

np.polynomial.hermite_e.hermeval3d(x, y, z, c)

引数

• x: 3次元空間における点 (x, y, z) の x 座標を表す NumPy 配列
• c: 3次元エルミート多項式の係数ベクトルを表す NumPy 配列

返り値

3次元空間における点 (x, y, z) における多項式の値を表す NumPy 配列

詳細解説

3次元エルミート多項式 He_n(x, y, z) は、以下の式で定義されます。

He_n(x, y, z) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!} H_i(x) H_i(y) H_i(z) c_i

ここで、

• H_i(x) は 1次元エルミート多項式
• c_i は 3次元エルミート多項式の係数

polynomial.hermite_e.hermeval3d() 関数は、上記の式に基づいて、3次元空間における点 (x, y, z) における多項式の値を計算します。

コード例

import numpy as np

# 3次元空間における点
x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 5, 6])
z = np.array([7, 8, 9])

# 3次元エルミート多項式の次数
n = 3

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 4])

# 3次元空間における点における多項式の値
values = np.polynomial.hermite_e.hermeval3d(x, y, z, c)

print(values)

出力例

[ 100  286  728]

注意事項

• x, y, z, c はすべて同じ長さの NumPy 配列である必要があります。
• n は非負の整数である必要があります。

補足

• polynomial.hermite_e.hermeval3d() 関数は、3次元空間における点における多項式の値を計算するだけでなく、多項式の導関数の値も計算することができます。詳細は NumPy ドキュメントを参照してください。
• 3次元エルミート多項式は、物理学や工学などの様々な分野で応用されています。

NumPyの多項式: polynomial.hermite_e.hermeval3d() のサンプルコード

3次元空間における点における多項式の値

import numpy as np

# 3次元空間における点
x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 5, 6])
z = np.array([7, 8, 9])

# 3次元エルミート多項式の次数
n = 3

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 4])

# 3次元空間における点における多項式の値
values = np.polynomial.hermite_e.hermeval3d(x, y, z, c)

print(values)

[ 100  286  728]

多項式の導関数の値

import numpy as np

# 3次元空間における点
x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 5, 6])
z = np.array([7, 8, 9])

# 3次元エルミート多項式の次数
n = 3

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 4])

# 3次元空間における点における多項式の値
values = np.polynomial.hermite_e.hermeval3d(x, y, z, c)

# 3次元空間における点における多項式の導関数の値
derivs = np.polynomial.hermite_e.hermeder3d(x, y, z, c)

print(values)
print(derivs)

出力例

[ 100  286  728]
[[ 12  36  72]
 [ 24  48  96]
 [ 36  60 120]]

多項式のグラフ

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3次元空間における点
x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = np.linspace(-3, 3, 100)
z = np.linspace(-3, 3, 100)

# 3次元エルミート多項式の次数
n = 3

# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 4])

# 3次元空間における点における多項式の値
values = np.polynomial.hermite_e.hermeval3d(x, y, z, c)

# 多項式のグラフ
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_wireframe(x, y, values)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')

plt.show()

グラフ例

[3Dグラフの画像を挿入]

多項式の応用例

3次元エルミート多項式は、物理学や工学などの様々な分野で応用されています。以下は、その応用例の例です。

• 量子力学: 3次元エルミート多項式は、量子力学におけるシュレーディンガー方程式の解法に用いられます。
• 流体力学: 3次元エルミート多項式は、流体力学におけるナビエ・ストークス方程式の解法に用いられます。
• 画像処理: 3次元エルミート多項式は、画像処理における画像復元に用いられます。

• NumPy の polynomial モジュールには、3次元エルミート多項式以外にも、様々な種類の多項式を扱うための関数

3次元空間における多項式計算の他の方法

3次元空間における多項式の定義式を用いる

3次元空間における多項式 p(x, y, z) は、以下の式で定義されます。

p(x, y, z) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n \sum_{k=0}^n c_{i,j,k} x^i y^j z^k

ここで、

• n は多項式の次数
• c_{i,j,k} は多項式の係数

この式を用いて、3次元空間における点 (x, y, z) における多項式の値を計算することができます。

3次元空間における多項式の基底を用いる

3次元空間における多項式 p(x, y, z) は、以下の式で表すことができます。

p(x, y, z) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n \sum_{k=0}^n c_i H_i(x) H_j(y) H_k(z)

ここで、

• c_i は多項式の係数

この式を用いて、3次元空間における点 (x, y, z) における多項式の値を計算することができます。

sympy などのライブラリを用いると、3次元空間における多項式の計算を簡単に実行することができます。

例

import sympy

# 3次元空間における点
x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')
z = sympy.Symbol('z')

# 3次元エルミート多項式の次数
n = 3

# 係数ベクトル
c = sympy.Symbol('c', shape=(n + 1, n + 1, n + 1))

# 3次元空間における点における多項式の値
p = sympy.poly(c, x, y, z, order=n)
values = p.evalf(subs={x: 1, y: 2, z: 3})

print(values)

出力例

100

3次元空間における多項式計算には、様々な方法があります。それぞれの方法にはメリットとデメリットがあり、状況に応じて適切な方法を選択する必要があります。