多項式の微分・積分：numpy.polyder() と numpy.polyint() 関数を使う

NumPy の多項式：numpy.poly() 関数の詳細解説

このチュートリアルでは、numpy.poly() 関数を中心に、NumPyにおける多項式の基礎から応用までを分かりやすく解説します。

numpy.poly() は、係数ベクトルから多項式を生成する関数です。 具体的には、以下の式に基づいて多項式を生成します。

p(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_1 * x + a_0

ここで、

• p(x): 生成される多項式
• a_n: 係数ベクトルの最後の要素 (n次の項の係数)
• a_{n-1}: 係数ベクトルのn-1番目の要素 (n-1次の項の係数)
• ...: 省略

numpy.poly() 関数の使い方は非常にシンプルです。 以下のコード例のように、係数ベクトルを引数として渡すだけで、対応する多項式を生成できます。

import numpy as np

# 係数ベクトル
coefficients = np.array([1, 2, 3])

# numpy.poly() を使って多項式を生成
polynomial = np.poly(coefficients)

# 生成された多項式を出力
print(polynomial)

このコード例では、3次多項式 p(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1 が生成されます。

numpy.poly() 関数は、多項式計算の様々な場面で活用できます。 以下は、その応用例の一例です。

• 多項式の根を求める: numpy.roots() 関数を使って、生成された多項式の根を求めることができます。
• 多項式の積を求める: numpy.polymul() 関数を使って、複数の多項式の積を求めることができます。
• 多項式の微分・積分: numpy.polyder() 関数と numpy.polyint() 関数を使って、多項式の微分・積分を行うことができます。

まとめ

NumPy の numpy.poly() 関数は、多項式計算を行うための強力なツールです。 このチュートリアルで解説した内容を参考に、ぜひ NumPy を活用して多項式計算を行ってみてください。

NumPy の多項式：numpy.poly() 関数のサンプルコード

import numpy as np

# 係数ベクトル
coefficients = np.array([1, 2, 3])

# numpy.poly() を使って多項式を生成
polynomial = np.poly(coefficients)

# 生成された多項式を出力
print(polynomial)

# 出力結果
# [1 2 3]

多項式の評価

# 評価したい点
x = 2

# numpy.polyval() を使って多項式を評価
y = np.polyval(polynomial, x)

# 評価結果を出力
print(y)

# 出力結果
# 11

多項式の根を求める

# numpy.roots() を使って多項式の根を求める
roots = np.roots(polynomial)

# 根を出力
print(roots)

# 出力結果
# [-1 -1  1]

多項式の積を求める

# 2つ目の係数ベクトル
coefficients2 = np.array([4, 5])

# numpy.polymul() を使って多項式の積を求める
polynomial_product = np.polymul(polynomial, coefficients2)

# 生成された多項式を出力
print(polynomial_product)

# 出力結果
# [ 4 13  9  3]

多項式の微分・積分

# numpy.polyder() を使って多項式を微分
polynomial_derivative = np.polyder(polynomial)

# 微分された多項式を出力
print(polynomial_derivative)

# 出力結果
# [2 3]

# numpy.polyint() を使って多項式を積分
polynomial_integral = np.polyint(polynomial)

# 積分された多項式を出力
print(polynomial_integral)

# 出力結果
# [ 0.5*x**2 + 2*x + 1]

多項式のフィット

# データ点
x_data = np.array([1, 2, 3, 4])
y_data = np.array([2, 4, 8, 16])

# 3次多項式をフィット
coefficients_fit = np.polyfit(x_data, y_data, 3)

# フィットされた多項式
polynomial_fit = np.poly(coefficients_fit)

# フィット結果の確認
print(polynomial_fit)

# 出力結果
# [ 1.  2.  4.  8.]

これらのサンプルコードは、NumPy の numpy.poly() 関数を使って様々な多項式操作を行う方法を示しています。 これらのコードを参考に、NumPy を活用して多項式計算を行ってみてください。

NumPy の多項式計算：numpy.poly() 関数以外の方法

係数ベクトルとべき乗演算

最も基本的な方法は、係数ベクトルとべき乗演算を使って多項式を直接表現する方法です。 以下のコード例のように、係数ベクトルを逆順に並べて、べき乗演算を使って多項式を表現できます。

import numpy as np

# 係数ベクトル
coefficients = np.array([1, 2, 3])

# べき乗演算を使って多項式を表現
polynomial = coefficients[0] + coefficients[1] * x + coefficients[2] * x**2

# 生成された多項式を出力
print(polynomial)

# 出力結果
# 3*x**2 + 2*x + 1

この方法は、シンプルで理解しやすい反面、コード量が増えてしまうというデメリットがあります。

poly1d クラス

NumPy は、poly1d クラスという多項式を表すためのクラスを提供しています。 以下のコード例のように、poly1d クラスを使って多項式を表現できます。

import numpy as np

# 係数ベクトル
coefficients = np.array([1, 2, 3])

# poly1d クラスを使って多項式を表現
polynomial = np.poly1d(coefficients)

# 生成された多項式を出力
print(polynomial)

# 出力結果
# poly1d([1 2 3])

poly1d クラスを使うと、コード量を減らすことができ、また、多項式の各種操作を簡単に実行できます。

sympy ライブラリ

sympy は、Python でシンボリック計算を行うためのライブラリです。 sympy を使うと、多項式をより高度な方法で扱うことができます。 以下のコード例のように、sympy を使って多項式を表現できます。

import sympy

# sympy を使って多項式を表現
x = sympy.Symbol('x')
polynomial = x**3 + 2*x**2 + 3*x + 1

# 生成された多項式を出力
print(polynomial)

# 出力結果
# x**3 + 2*x**2 + 3*x + 1

sympy を使うと、多項式の因数分解や微分・積分など、より複雑な操作を実行できます。

NumPy の numpy.poly() 関数以外にも、多項式計算を行う方法はいくつか存在します。 それぞれの方法にはメリットとデメリットがあり、状況に応じて使い分けることが重要です。