Chebyshev.trim() だけじゃない:NumPyによるチェビシェフ多項式の次数削減方法
NumPyのpolynomial.chebyshev.Chebyshev.trim()解説
Chebyshev.trim()
関数は、以下の2つの役割を果たします。
- 精度を維持しながら多項式の次数を削減する:
- 係数の絶対値が指定されたしきい値よりも小さい項を削除します。
- 削除された項の影響は、残りの項で補償されます。
- 多項式の安定性を向上させる:
- 高次の項は、数値誤差の影響を受けやすいため、除去することで安定性を向上させます。
Chebyshev.trim()
関数は、以下の引数を受け取ります。
- c: 係数ベクトル
- tol: しきい値
- rtol: 相対しきい値
tol
とrtol
の両方が指定された場合は、両方の条件を満たす項のみが削除されます。
import numpy as np
# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
# しきい値
tol = 1e-6
# 相対しきい値
rtol = 1e-3
# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(tol, rtol)
# 結果
print(trimmed_c)
tol
とrtol
の値は、問題に応じて調整する必要があります。- 値を小さくしすぎると、精度が低下する可能性があります。
- 値を大きくしすぎると、削減効果が低くなります。
まとめ
Chebyshev.trim()
関数は、チェビシェフ多項式の次数を削減するための便利な関数です。この関数を使いこなすことで、計算効率を向上させ、多項式の安定性を向上させることができます。
NumPyのpolynomial.chebyshev.Chebyshev.trim()サンプルコード
サンプルコード1: しきい値による次数削減
import numpy as np
# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
# しきい値
tol = 1e-8
# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(tol)
# 結果
print(trimmed_c)
# 出力:
# [1. 2. 3.]
サンプルコード2: 相対しきい値による次数削減
import numpy as np
# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
# 相対しきい値
rtol = 1e-3
# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(rtol=rtol)
# 結果
print(trimmed_c)
# 出力:
# [1. 2. 3.]
この例では、rtol=1e-3
として、係数の相対値が1e-3よりも小さい項を削除しています。
サンプルコード3: 両方のしきい値による次数削減
import numpy as np
# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
# しきい値
tol = 1e-8
# 相対しきい値
rtol = 1e-3
# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(tol, rtol)
# 結果
print(trimmed_c)
# 出力:
# [1. 2. 3.]
この例では、tol=1e-8
とrtol=1e-3
の両方の条件を満たす項のみを削除しています。
サンプルコード4: 多項式の評価
import numpy as np
# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3])
# Chebyshev多項式
chebyshev = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c)
# xの値
x = np.linspace(-1, 1, 100)
# 多項式の評価
y = chebyshev(x)
# グラフの描画
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y)
plt.show()
この例では、3次チェビシェフ多項式を生成し、-1から1までの範囲で100個の点における値を評価してグラフを描画しています。
サンプルコード5: trim()による次数削減後の評価
import numpy as np
# 係数ベクトル
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
# しきい値
tol = 1e-8
# trim()を実行
trimmed_c = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(c).trim(tol)
# Chebyshev多項式
trimmed_chebyshev = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(trimmed_c)
# xの値
x = np.linspace(-1, 1, 100)
# 多項式の評価
y_trimmed = trimmed_chebyshev(x)
# グラフの描画
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y, label="Original")
plt.plot(x, y_trimmed, label="Trimmed")
plt.legend()
plt.show()
この例では、サンプルコード4と同様に3次チェビシェフ多項式を生成し、-1から1までの範囲で100個の点における値を評価してグラフを描画しています。さらに、tol=1e-8
としてtrim()を実行し、次数削減後の多項式も評価してグラフに
NumPyのpolynomial.chebyshev.Chebyshev.trim()以外の次数削減方法
項の絶対値の比較
Chebyshev.trim()
と同様に、各項の絶対値を比較し、小さい項を削除する方法です。
def trim_chebyshev(c, tol):
"""
項の絶対値を比較して、小さい項を削除する
Args:
c: 係数ベクトル
tol: しきい値
Returns:
次数削減後の係数ベクトル
"""
trimmed_c = []
for c_i in c:
if abs(c_i) > tol:
trimmed_c.append(c_i)
return trimmed_c
# 例
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
tol = 1e-8
trimmed_c = trim_chebyshev(c, tol)
ルンゲ・クッタ法などの数値積分を用いて、多項式の定積分を計算し、その値が小さい項を削除する方法です。
def trim_chebyshev_integral(c, tol):
"""
ルンゲ・クッタ法による数値積分を用いて、小さい項を削除する
Args:
c: 係数ベクトル
tol: しきい値
Returns:
次数削減後の係数ベクトル
"""
trimmed_c = []
for c_i in c:
integral = 0
# ルンゲ・クッタ法による数値積分
for x in np.linspace(-1, 1, 100):
integral += c_i * np.cos(x * np.pi * (i + 1))
if abs(integral) > tol:
trimmed_c.append(c_i)
return trimmed_c
# 例
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
tol = 1e-8
trimmed_c = trim_chebyshev_integral(c, tol)
スパース化ライブラリの利用
SciPyなどのスパース化ライブラリを用いて、係数ベクトルをスパース行列に変換し、小さい要素を削除する方法です。
from scipy.sparse import spdiags, csr_matrix
def trim_chebyshev_sparse(c, tol):
"""
スパース化ライブラリを用いて、小さい要素を削除する
Args:
c: 係数ベクトル
tol: しきい値
Returns:
次数削減後の係数ベクトル
"""
diag = np.array(c)
diag[abs(diag) < tol] = 0
D = spdiags(diag, 0, len(c), len(c))
S = csr_matrix(D)
# スパース行列の要素を削減
S.data[abs(S.data) < tol] = 0
return S.diagonal()
# 例
c = np.array([1, 2, 3, 1e-6, 1e-9])
tol = 1e-8
trimmed_c = trim_chebyshev_sparse(c, tol)
これらの方法は、それぞれ異なるメリットとデメリットがあります。
項の絶対値の比較
- メリット:
- シンプルで実装が容易
- 計算速度が速い
- デメリット:
- 精度が低い場合がある
ルンゲ・クッタ法による数値積分
- メリット:
- 項の絶対値の比較よりも精度が高い
- デメリット:
スパース化ライブラリの利用
- メリット: *
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