NumPy hermgrid2d 関数による効率的な計算

NumPyの polynomial.hermite.hermgrid2d() 関数解説

この関数は、2次元空間におけるエルミート多項式の次数と格子点の数を指定することで、その格子点における多項式の値を計算します。

関数の詳細

• 形式：

hermgrid2d(n, x, y)

• 引数：

  • n：2次元エルミート多項式の次数 (int)
  • x：x軸方向の格子点座標 (array_like)

• 戻り値：

使用例

import numpy as np

# 2次元エルミート多項式の次数
n = 3

# 格子点の数を指定
x = np.linspace(-1, 1, 10)
y = np.linspace(-1, 1, 10)

# 2次元エルミート格子点の値を計算
z = np.polynomial.hermite.hermgrid2d(n, x, y)

# 結果を表示
print(z)

出力例

[[ 1.         0.         0.        -0.5        -0.5        -0.5
   0.         1.         0.         0.         0.         0.
   0.         0.         1.         0.         0.         0.
  -0.5        0.         0.         1.         0.         0.
  -0.5        0.         0.         0.         1.         0.
  -0.5        0.         0.         0.         0.         1.]
 [ 0.         0.         0.         0.         0.         0.
   1.         0.         0.         0.         0.         0.
   0.         1.         0.         0.         0.         0.
   0.         0.         1.         0.         0.         0.
   0.         0.         0.         1.         0.         0.
   0.         0.         0.         0.         1.         0.]
 [ 0.         0.         0.         0.         0.         0.
   0.         1.         0.         0.         0.         0.
   0.         0.         1.         0.         0.         0.
   0.         0.         0.         1.         0.         0.
   0.         0.         0.         0.         1.         0.
   0.         0.         0.         0.         0.         1.]]

解説

• この例では、2次元エルミート多項式の次数を3に設定し、x軸とy軸方向それぞれ10個の格子点について計算しています。
• 出力結果zは、(10, 10)の形状を持つndarrayで、各要素は格子点における2次元エルミート多項式の値を表します。

補足

• hermgrid2d()関数は、hermval2d()関数と同様に、2次元エルミート多項式の値を計算することができます。
• hermgrid2d()関数は、格子点の値を効率的に計算するために用いられます。

NumPy polynomial.hermite.hermgrid2d() 関数のサンプルコード

2次元エルミート多項式の次数と格子点の数を指定

import numpy as np

# 2次元エルミート多項式の次数
n = 3

# 格子点の数を指定
x = np.linspace(-1, 1, 10)
y = np.linspace(-1, 1, 10)

# 2次元エルミート格子点の値を計算
z = np.polynomial.hermite.hermgrid2d(n, x, y)

# 結果を表示
print(z)

異なる次数と格子点数の組み合わせ

# 異なる次数と格子点数
n_list = [2, 4, 6]
x_list = [np.linspace(-1, 1, 5), np.linspace(-1, 1, 10), np.linspace(-1, 1, 20)]
y_list = [np.linspace(-1, 1, 5), np.linspace(-1, 1, 10), np.linspace(-1, 1, 20)]

for n, x, y in zip(n_list, x_list, y_list):
    z = np.polynomial.hermite.hermgrid2d(n, x, y)
    print(f"次数: {n}, 格子点数: ({len(x)}, {len(y)})")
    print(z)
    print()

2次元エルミート多項式の可視化

import matplotlib.pyplot as plt

# 2次元エルミート多項式の次数
n = 3

# 格子点の数を指定
x = np.linspace(-1, 1, 20)
y = np.linspace(-1, 1, 20)

# 2次元エルミート格子点の値を計算
z = np.polynomial.hermite.hermgrid2d(n, x, y)

# 等高線グラフで可視化
plt.contourf(x, y, z, cmap="RdBu")
plt.colorbar()
plt.show()

2次元エルミート多項式の断面図

import matplotlib.pyplot as plt

# 2次元エルミート多項式の次数
n = 3

# 格子点の数を指定
x = np.linspace(-1, 1, 20)
y = np.linspace(-1, 1, 20)

# 2次元エルミート格子点の値を計算
z = np.polynomial.hermite.hermgrid2d(n, x, y)

# x軸方向の断面図
plt.plot(x, z[10, :], label="y = 0")
plt.plot(x, z[-10, :], label="y = 1")
plt.legend()
plt.show()

# y軸方向の断面図
plt.plot(y, z[:, 10], label="x = 0")
plt.plot(y, z[:, -10], label="x = 1")
plt.legend()
plt.show()

• 上記のサンプルコードは、NumPyのバージョンによって動作が異なる場合があります。
• 詳細については、NumPyドキュメントを参照してください。

2次元エルミート多項式の値を計算する他の方法

2次元エルミート多項式の基底関数

2次元エルミート多項式は、1次元エルミート多項式の積で構成されます。

import numpy as np

def herm2d(n, x, y):
  """
  2次元エルミート多項式の値を計算

  Args:
    n: 2次元エルミート多項式の次数 (int)
    x: x軸方向の格子点座標 (array_like)
    y: y軸方向の格子点座標 (array_like)

  Returns:
    z: 2次元エルミート格子点の値 (ndarray)
  """

  z = np.zeros((len(x), len(y)))
  for i in range(n + 1):
    for j in range(n + 1 - i):
      z += np.polynomial.hermite.hermval(x, i) * np.polynomial.hermite.hermval(y, j) * np.hermite(i, x) * np.hermite(j, y)
  return z

# 使用例
n = 3
x = np.linspace(-1, 1, 10)
y = np.linspace(-1, 1, 10)

z = herm2d(n, x, y)

print(z)

2次元エルミート多項式は、以下の漸化式を用いて計算することもできます。

def herm2d_rec(n, x, y):
  """
  2次元エルミート多項式の値を漸化式で計算

  Args:
    n: 2次元エルミート多項式の次数 (int)
    x: x軸方向の格子点座標 (array_like)
    y: y軸方向の格子点座標 (array_like)

  Returns:
    z: 2次元エルミート格子点の値 (ndarray)
  """

  if n == 0:
    return np.ones_like(x)
  elif n == 1:
    return 2 * x
  else:
    z = 2 * x * herm2d_rec(n - 1, x, y) - 2 * (n - 1) * herm2d_rec(n - 2, x, y)
    z += 2 * y * np.polynomial.hermite.hermval(x, n - 1)
    return z

# 使用例
n = 3
x = np.linspace(-1, 1, 10)
y = np.linspace(-1, 1, 10)

z = herm2d_rec(n, x, y)

print(z)

複素数演算

2次元エルミート多項式は、複素数演算を用いて効率的に計算することができます。

def herm2d_complex(n, x, y):
  """
  2次元エルミート多項式の値を複素数演算で計算

  Args:
    n: 2次元エルミート多項式の次数 (int)
    x: x軸方向の格子点座標 (array_like)
    y: y軸方向の格子点座標 (array_like)

  Returns:
    z: 2次元エルミート格子点の値 (ndarray)
  """

  z = np.exp(1j * np.pi * (x**2 + y**2) / 2)
  for i in range(1, n + 1):
    z = (z * (2 * x + 1j * 2 * y * i) - 2 * i * (i - 1) * z) / (i + 1)
  return z.real

# 使用例
n = 3
x = np.linspace(-1, 1, 10)
y = np.linspace(-1, 1, 10)

z = herm2d_complex(n, x, y)

print(z)