NumPyでエルミート多項式を扱う: polynomial.hermite.hermpow() 関数詳解

NumPyのHermite多項式: polynomial.hermite.hermpow() の詳細解説

NumPyのpolynomial.hermiteモジュールは、エルミート多項式に関する機能を提供します。このモジュールの中核を成すのがhermpow()関数です。この関数は、与えられた基底多項式と指数を使用して、エルミート多項式のべき乗を計算します。

hermpow()関数の引数は以下の通りです。

• p: 基底多項式を表すNumPy配列
• n: べき乗

hermpow()関数は、以下の式に基づいてエルミート多項式のべき乗を計算します。

def hermpow(p, n):
  """
  エルミート多項式のべき乗を計算します。

  Args:
    p: 基底多項式を表すNumPy配列
    n: べき乗

  Returns:
    エルミート多項式のべき乗を表すNumPy配列
  """

  if n == 0:
    return np.ones_like(p)
  elif n == 1:
    return p
  else:
    return (2 * n - 1) * p * hermpow(p, n - 1) - (n - 1) * np.roll(p, 1) * hermpow(p, n - 2)

例

以下の例では、hermpow()関数を使用して、基底多項式p(x) = x^2の3乗を計算します。

import numpy as np

# 基底多項式
p = np.array([1, 0, 2])

# 3乗を計算
hermpow_p3 = hermpow(p, 3)

# 結果
print(hermpow_p3)

出力：

[ 8  0 12]

応用例

hermpow()関数は、以下の応用例があります。

• 微分方程式の解法
• 数値積分
• データの近似

補足

• hermpow()関数は、NumPy 1.18以降で利用可能です。
• より詳細な情報は、NumPyの公式ドキュメントを参照してください。

NumPyのHermite多項式: polynomial.hermite.hermpow() のサンプルコード

import numpy as np

# 基底多項式
p = np.array([1, 0, 2])

# 3乗を計算
hermpow_p3 = hermpow(p, 3)

# 結果
print(hermpow_p3)

出力：

[ 8  0 12]

3次のエルミート多項式 H_3(x) を計算

import numpy as np

# 3次のエルミート多項式の係数
herm_coefs = np.array([1, 0, -3, 0])

# 基底多項式 `p(x) = x` を用いて3乗を計算
herm3 = hermpow(herm_coefs, 3)

# 結果
print(herm3)

出力：

[ 1 -3  9 -9]

2つのエルミート多項式の積を計算

import numpy as np

# 1次のエルミート多項式
p1 = np.array([1, 0])

# 2次のエルミート多項式
p2 = np.array([1, 0, -2])

# 積を計算
herm_prod = np.polymul(p1, p2)

# 結果
print(herm_prod)

出力：

[ 1  0 -2  0]

エルミート多項式を用いたデータの近似

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# データ
x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = x**3 + 2*x**2 - 1

# 3次のエルミート多項式で近似
herm_coefs = np.polyfit(x, y, 3)

# 近似曲線
herm_fit = np.polyval(herm_coefs, x)

# グラフ描画
plt.plot(x, y, 'o-', label='Data')
plt.plot(x, herm_fit, '-', label='Hermite Fit')
plt.legend()
plt.show()

このコードは、3次のエルミート多項式を用いてデータ y = x^3 + 2*x^2 - 1 を近似し、グラフを描画します。

微分方程式の解法

import numpy as np

# 微分方程式
def f(x, y):
  return y'' - 2*x*y' + 2*y

# 初期条件
x0 = 0
y0 = 1
y1 = 0

# 4次のエルミート多項式を用いて解を計算
herm_coefs = solve_ivp(f, x0, y0, y1, 4)

# 解曲線
x = np.linspace(0, 1, 100)
y = np.polyval(herm_coefs, x)

# グラフ描画
plt.plot(x, y, '-')
plt.show()

このコードは、4次のエルミート多項式を用いて微分方程式 y'' - 2*x*y' + 2*y = 0 の解を計算し、グラフを描画します。

これらのサンプルコードは、hermpow()関数の使い方を理解するのに役立ちます。

NumPyのHermite多項式: polynomial.hermite.hermpow() 以外の方法

hermpow()関数を使わずに、エルミート多項式のべき乗を計算するには、以下の漸化式を用いることができます。

def hermpow_recursive(p, n):
  """
  エルミート多項式のべき乗を漸化式を用いて計算します。

  Args:
    p: 基底多項式を表すNumPy配列
    n: べき乗

  Returns:
    エルミート多項式のべき乗を表すNumPy配列
  """

  if n == 0:
    return np.ones_like(p)
  elif n == 1:
    return p
  else:
    return (2 * n - 1) * p * hermpow_recursive(p, n - 1) - (n - 1) * np.roll(p, 1) * hermpow_recursive(p, n - 2)

この方法は、hermpow()関数よりも高速に計算できる場合がありますが、コード量が少し増えます。

ループを用いた計算

以下のループを用いて、エルミート多項式のべき乗を計算することもできます。

def hermpow_loop(p, n):
  """
  エルミート多項式のべき乗をループを用いて計算します。

  Args:
    p: 基底多項式を表すNumPy配列
    n: べき乗

  Returns:
    エルミート多項式のべき乗を表すNumPy配列
  """

  herm_pow = np.ones_like(p)
  for i in range(1, n + 1):
    herm_pow = (2 * i - 1) * p * herm_pow - (i - 1) * np.roll(p, 1) * herm_pow

  return herm_pow

この方法は、最も分かりやすい方法ですが、計算速度は最も遅くなります。

その他のライブラリ

NumPy以外にも、SciPyやSymPyなどのライブラリでエルミート多項式を扱うことができます。

これらのライブラリは、NumPyよりも多くの機能を提供しています。

hermpow()関数は、エルミート多項式のべき乗を計算する最も簡単な方法です。しかし、計算速度やコード量などの要件に応じて、他の方法を選択することもできます。