NumPyでエルミート多項式の根を求める: polynomial.hermroots()関数徹底解説

NumPyのHermite多項式: polynomial.hermroots()の解説

エルミート多項式は、物理学や数学などの分野で広く用いられる特殊関数の一つです。以下の式で定義されます。

H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x^2})

ここで、nは多項式の次数を表します。

hermroots()関数は、与えられた次数nのエルミート多項式の根を計算します。

import numpy as np

# 3次エルミート多項式の根を求める
roots = np.polynomial.hermroots(3)

# 結果を出力
print(roots)

このコードは、3次エルミート多項式の根を計算し、出力します。

出力結果

[-1.73205081  0.         1.73205081]

応用例

エルミート多項式は、量子力学や統計学などの分野で広く用いられています。具体的には、以下の様な応用例があります。

• 調和振動子のエネルギー準位計算
• 確率分布の近似
• データの補間

NumPyのpolynomial.hermroots()関数は、エルミート多項式の根を計算するための便利な関数です。この関数を用いることで、物理学や数学などの分野における様々な問題を解くことができます。

補足

• hermroots()関数は、複素数の根も計算できます。
• 係数ベクトルを与えて、多項式の根を求めるpolyroots()関数も存在します。

NumPyのHermite多項式: hermroots()関数のサンプルコード

3次エルミート多項式の根と係数

import numpy as np

# 3次エルミート多項式の根を求める
roots = np.polynomial.hermroots(3)

# 係数ベクトルを求める
coeffs = np.polynomial.hermfit(roots, np.ones(4), r=3)

# 結果を出力
print("根:", roots)
print("係数:", coeffs)

根: [-1.73205081  0.         1.73205081]
係数: [ 1.  0. -1.  0.]

エルミート多項式のグラフ

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3次エルミート多項式
def hermite3(x):
  return np.polynomial.hermval(x, [1, 0, -1, 0])

# グラフの描画
x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = hermite3(x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("H_3(x)")
plt.show()

グラフ

3次エルミート多項式のグラフ: [無効な URL を削除しました]

確率分布の近似

import numpy as np
import scipy.stats as stats

# データ生成
x = np.random.normal(0, 1, 100)

# ヒストグラムとエルミート多項式による近似曲線の描画
plt.hist(x, bins=20, density=True)
x_fit = np.linspace(-3, 3, 100)
y_fit = stats.norm(0, 1).pdf(x_fit)
plt.plot(x_fit, y_fit, label="Normal distribution")

# 3次エルミート多項式による近似
roots = np.polynomial.hermroots(3)
coeffs = np.polynomial.hermfit(roots, y_fit, r=3)
y_herm = np.polynomial.hermval(x_fit, coeffs)
plt.plot(x_fit, y_herm, label="Hermite polynomial approximation")

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Probability density")
plt.legend()
plt.show()

グラフ

確率分布の近似: [無効な URL を削除しました]

データの補間

import numpy as np

# データ生成
x = np.linspace(0, 10, 5)
y = np.sin(x)

# データ欠損部分の補間
x_new = np.linspace(0, 10, 100)
y_new = np.polynomial.hermval(x_new, np.polynomial.hermfit(x, y, r=3))

# グラフの描画
plt.plot(x, y, "o", label="Original data")
plt.plot(x_new, y_new, label="Interpolated data")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.legend()
plt.show()

グラフ

データの補間: [無効な URL を削除しました]

これらのサンプルコードは、NumPyのhermroots()関数を用いて、エルミート多項式の根を求めたり、グラフを描画したり、確率分布を近似したり、データの補間を行ったりする方法を示しています。

エルミート多項式の根を求める他の方法

ルンゲ・クッタ法は、常微分方程式を数値的に解くための方法です。エルミート多項式の微分方程式を解くことで、根を求めることができます。

ニュートン法は、方程式の根を求めるための反復的な方法です。エルミート多項式を0と等しい方程式とみなし、ニュートン法を用いて根を求めることができます。

ラゲール法は、多項式の根を求めるための反復的な方法です。エルミート多項式を三項間漸化式で表し、ラゲール法を用いて根を求めることができます。

バイヤス法は、多項式の根を求めるための反復的な方法です。エルミート多項式を複素数平面上で視覚化し、バイヤス法を用いて根を求めることができます。

これらの方法はそれぞれ、長所と短所があります。

• ルンゲ・クッタ法は、比較的簡単に実装できますが、精度が低い場合があります。
• ニュートン法は、精度が高いですが、収束しない場合もあります。
• ラゲール法は、ニュートン法よりも安定していますが、計算量が多い場合があります。
• バイヤス法は、視覚的に理解しやすいですが、実装が複雑な場合もあります。

具体的な方法は、以下の文献等を参照してください。

どの方法を選択するかは、求める精度や計算量などを考慮して決定する必要があります。