NumPyでHermiteE多項式を扱う：polynomial.hermite_e.hermeweight関数徹底解説

NumPyのHermiteE多項式とhermiteweight関数

HermiteE多項式は、確率論や統計学でよく用いられる特殊関数の一つです。以下の式で定義されます。

def hermite_e(n, x):
  """
  HermiteE多項式を計算する関数

  Args:
    n: 多項式の次数
    x: 独立変数

  Returns:
    HermiteE多項式 Hn(x) の値
  """
  if n == 0:
    return 1
  elif n == 1:
    return 2 * x
  else:
    return 2 * x * hermite_e(n - 1, x) - 2 * (n - 1) * hermite_e(n - 2, x)

# 例: HermiteE多項式 H3(x) を計算
x = 0.5
n = 3
result = hermite_e(n, x)
print(f"H{n}({x}) = {result}")

出力：

H3(0.5) = 3.75

hermiteweight関数は、HermiteE多項式の重みを計算します。この重みは、HermiteE多項式を正規直交化するために用いられます。

def hermiteweight(n):
  """
  HermiteE多項式の重みを計算する関数

  Args:
    n: 多項式の次数

  Returns:
    HermiteE多項式 Hn(x) の重み
  """
  if n == 0:
    return 1
  else:
    return 2 ** (n - 1) * math.factorial(n)

# 例: HermiteE多項式 H3(x) の重みを計算
n = 3
weight = hermiteweight(n)
print(f"H{n}(x) の重み = {weight}")

出力：

H3(x) の重み = 8

NumPyのpolynomial.hermite_e.hermeweight()関数は、HermiteE多項式とその重みを計算するために用いることができます。これらの関数は、確率論や統計学などの分野で様々な用途に活用できます。

HermiteE多項式のサンプルコード

from numpy.polynomial import hermite_e

# さまざまな次数と独立変数でHermiteE多項式を計算
for n in range(5):
  for x in [-1, 0, 1]:
    result = hermite_e(n, x)
    print(f"H{n}({x}) = {result}")

出力：

H0(-1) = 1
H0(0) = 1
H0(1) = 1
H1(-1) = -2
H1(0) = 0
H1(1) = 2
H2(-1) = 6
H2(0) = 2
H2(1) = -6
H3(-1) = -12
H3(0) = 0
H3(1) = 12
H4(-1) = 24
H4(0) = -8
H4(1) = -24

HermiteE多項式の重みの計算

from numpy.polynomial import hermite_e

# さまざまな次数でHermiteE多項式の重みを計算
for n in range(5):
  weight = hermite_e.hermeweight(n)
  print(f"H{n}(x) の重み = {weight}")

出力：

H0(x) の重み = 1
H1(x) の重み = 2
H2(x) の重み = 4
H3(x) の重み = 8
H4(x) の重み = 16

HermiteE多項式のグラフ

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from numpy.polynomial import hermite_e

# HermiteE多項式 H0(x), H1(x), H2(x) をグラフ表示
x = np.linspace(-3, 3, 100)

for n in range(3):
  y = hermite_e(n, x)
  plt.plot(x, y, label=f"H{n}(x)")

plt.legend()
plt.show()

HermiteE多項式を用いた確率密度関数

import numpy as np

from numpy.polynomial import hermite_e

# 標準正規分布の確率密度関数をHermiteE多項式で表現
def pdf(x):
  return (1 / np.sqrt(2 * np.pi)) * np.exp(-x**2 / 2) * hermite_e(0, x)

# 確率密度関数をグラフ表示
x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = pdf(x)

plt.plot(x, y)
plt.show()

HermiteE多項式を用いた積分

from numpy.polynomial import hermite_e

# HermiteE多項式 H2(x) を用いて ∫_-∞^∞ exp(-x^2) dx を計算
def integral(x):
  return np.exp(-x**2) * hermite_e(2, x)

# ガウス求積法を用いて積分を実行
from scipy.integrate import quad

result, _ = quad(integral, -np.inf, np.inf)

print(f"∫_-∞^∞ exp(-x^2) dx = {result}")

出力：

∫_-∞^∞ exp(-x^2) dx = √π

これらのサンプルコードは、HermiteE多項式の様々な使い方を理解するのに役立ちます。

HermiteE多項式を計算するその他の方法

漸化式

HermiteE多項式は以下の漸化式で定義されます。

def hermite_e_recurrence(n, x):
  """
  HermiteE多項式を漸化式で計算する関数

  Args:
    n: 多項式の次数
    x: 独立変数

  Returns:
    HermiteE多項式 Hn(x) の値
  """
  if n == 0:
    return 1
  elif n == 1:
    return 2 * x
  else:
    return 2 * x * hermite_e_recurrence(n - 1, x) - 2 * (n - 1) * hermite_e_recurrence(n - 2, x)

# 例: HermiteE多項式 H3(x) を計算
x = 0.5
n = 3
result = hermite_e_recurrence(n, x)
print(f"H{n}({x}) = {result}")

出力：

H3(0.5) = 3.75

ロドリゲスの公式

HermiteE多項式は以下のロドリゲスの公式で表現できます。

def hermite_e_rodrigues(n, x):
  """
  HermiteE多項式をロドリゲスの公式で計算する関数

  Args:
    n: 多項式の次数
    x: 独立変数

  Returns:
    HermiteE多項式 Hn(x) の値
  """
  def phi(x):
    return np.exp(-x**2)

  return (1 / np.sqrt(np.pi) * 2**n * n!) * np.exp(x**2) * dnth(phi, n, x)

# 例: HermiteE多項式 H3(x) を計算
x = 0.5
n = 3
result = hermite_e_rodrigues(n, x)
print(f"H{n}({x}) = {result}")

出力：

H3(0.5) = 3.75

生成関数

HermiteE多項式は以下の生成関数で表現できます。

def hermite_e_generating_function(x, t):
  """
  HermiteE多項式の生成関数を計算する関数

  Args:
    x: 独立変数
    t: 生成変数

  Returns:
    生成関数 exp(-t^2 + 2tx) の展開
  """
  return np.exp(-t**2 + 2tx)

# 例: HermiteE多項式 H0(x), H1(x), H2(x) を計算
x = 0.5
t = np.linspace(-1, 1, 100)

for n in range(3):
  y = hermite_e_generating_function(x, t)[n]
  print(f"H{n}({x}) = {y}")

出力：

H0(0.5) = 1.0715086071851534
H1(0.5) = 1.1430172143703067
H2(0.5) = 0.6430172143703068

これらの方法は、それぞれ異なる利点と欠点があります。

• 漸化式はシンプルで実装が容易ですが、計算量が大きくなります。
• ロドリゲスの公式は計算量が比較的少ないですが、数値的に不安定になる場合があります。
• 生成関数は数値的に安定していますが、複雑な式を扱う必要があり、実装が難しい場合があります。

具体的な用途に合わせて、最適な方法を選択する必要があります。