PyTorch の SciPy-like Special における torch.special.erfc() の概要

PyTorch の SciPy-like Special における torch.special.erfc() の詳細解説

erfc(x) = 1 - erf(x) = 2/sqrt(pi) * int(exp(-t^2) dt, x, inf)

ここで、erf(x) は誤差関数です。

torch.special.erfc() の使い方は以下の通りです。

import torch

# 入力テンソル
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# erfc() 関数の呼び出し
result = torch.special.erfc(x)

# 結果
# tensor([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])

この関数は、以下のユースケースで使用できます。

• 統計学: 正規分布の確率密度関数の計算
• 数値解析: 積分方程式の解法
• 機械学習: ガウス過程回帰

補足:

• torch.special.erfc() 関数は、x が負の場合、NaN を返します。
• この関数は、CUDA 上で実行できます。

以下の点にも注意が必要です。

• torch.special.erfc() 関数は、数値的に不安定になる可能性があります。
• この関数は、高精度な計算には適していない場合があります。

より高精度な計算が必要な場合は、SciPy ライブラリの scipy.special.erfc() 関数を使用することをお勧めします。

以下は、torch.special.erfc() 関数と scipy.special.erfc() 関数の比較表です。

PyTorch の torch.special.erfc() 関数を使ったサンプルコード

統計学: 正規分布の確率密度関数の計算

import torch
import math

# 平均と標準偏差
mu = 0.0
sigma = 1.0

# x の値
x = torch.linspace(-3.0, 3.0, 100)

# 正規分布の確率密度関数
pdf = torch.exp(-(x - mu)**2 / (2 * sigma**2)) / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi))

# 補完誤差関数
erfc = torch.special.erfc(x / sigma)

# 確率密度関数の比較
print("確率密度関数:", pdf)
print("補完誤差関数:", erfc)

数値解析: 積分方程式の解法

import torch
import numpy as np

# 積分方程式
def f(x):
  return 1.0 / (1.0 + x**2)

# 積分範囲
a = 0.0
b = 1.0

# 数値解法
def numerical_solution(n):
  # 区間を分割
  h = (b - a) / n
  x = torch.linspace(a, b, n + 1)

  # 係数行列
  A = torch.zeros((n + 1, n + 1))
  for i in range(n + 1):
    for j in range(n + 1):
      A[i, j] = h / 2 * f((x[i] + x[j]) / 2)

  # 右辺ベクトル
  b = torch.zeros(n + 1)
  b[0] = 1.0

  # 線形方程式を解く
  u = torch.linalg.solve(A, b)

  return u

# 解の比較
n = 10
u_numerical = numerical_solution(n)

# 補完誤差関数
erfc = torch.special.erfc(x / sigma)

# 解の比較
print("数値解:", u_numerical)
print("補完誤差関数:", erfc)

機械学習: ガウス過程回帰

import torch
import GPy

# データ
x = torch.linspace(-3.0, 3.0, 100)
y = torch.sin(x) + torch.randn(100)

# ガウス過程回帰モデル
model = GPy.models.GPRegression(x, y)

# モデルの学習
model.optimize()

# 予測
x_test = torch.linspace(-4.0, 4.0, 100)
y_pred, y_var = model.predict(x_test)

# 補完誤差関数
erfc = torch.special.erfc(x_test / sigma)

# 予測結果の比較
print("予測平均:", y_pred)
print("予測分散:", y_var)
print("補完誤差関数:", erfc)

torch.special.erfc() 関数の代替方法

scipy.special.erfc() 関数

from scipy.special import erfc

# 入力
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0])

# erfc() 関数の呼び出し
result = erfc(x)

# 結果
# array([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])

この方法は、torch.special.erfc() 関数よりも高精度な計算が可能です。

漸近展開

def erfc_asymptotic(x):
  return exp(-x**2) / (x * sqrt(pi)) * (1 + sum([(-1)**n * (2*n)! / (2**n * n! * (x**2)**(n+1)) for n in range(1, 5)]))

# 入力
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# 漸近展開による計算
result = erfc_asymptotic(x)

# 結果
# tensor([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])

この方法は、x が大きい場合に有効です。

ルックアップテーブル

import numpy as np

# ルックアップテーブル
erfc_table = np.load("erfc_table.npy")

# 入力
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0])

# ルックアップテーブルからの補完誤差関数の取得
result = erfc_table[x.astype(int)]

# 結果
# array([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])

この方法は、高速な計算が可能です。

シリーズ展開

def erfc_series(x):
  result = 1.0
  for n in range(1, 100):
    result += (-1)**n * (2*n)! / (2**n * n! * (x**2)**(n+1))
  return result

# 入力
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# シリーズ展開による計算
result = erfc_series(x)

# 結果
# tensor([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])

この方法は、精度の高い計算が可能です。

どの方法を選択するかは、精度、速度、およびその他の要件によって異なります。