NumPyによるエルミート多項式の積分
NumPy polynomial.hermite_e.HermiteE.integ() 関数の詳細解説
関数の概要
- 機能: エルミート多項式の積分を実行
- 引数:
p
: 積分するエルミート多項式を表す係数のリストm
: 積分次数 (デフォルトは 1)lbnd
: 下限 (デフォルトは -1)
- 戻り値: 積分結果
使用例
import numpy as np
# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])
# 2回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, m=2)
# 結果
print(integ)
この例では、3次エルミート多項式 p
を2回積分し、結果を出力します。
詳細解説
エルミート多項式は、物理学や数学などの分野で広く用いられる特殊関数です。以下の式で定義されます。
H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}
ここで、n
は次数を表します。
HermiteE.integ()
関数は、ガウス求積法を用いてエルミート多項式の積分を実行します。ガウス求積法は、数値積分を行うための数値解析手法です。
この関数は、以下の式に基づいて積分結果を計算します。
∫_a^b f(x) dx ≈ ∑_{i=0}^{n-1} w_i f(x_i)
ここで、
a
: 下限b
: 上限f(x)
: 積分対象関数n
: ガウス求積法の次数w_i
: ガウス求積法の重みx_i
: ガウス求積法の節点
HermiteE.integ()
関数は、デフォルトで n=10
のガウス求積法を使用します。
引数 lbnd と ubnd
lbnd
と ubnd
は、積分範囲の下限と上限を指定します。デフォルトでは、それぞれ -1
と 1
に設定されています。
応用例
HermiteE.integ()
関数は、以下の様な応用例があります。
- エルミート多項式の定積分
- エルミート多項式による関数の近似
- 確率密度関数の積分
補足
- この解説は、NumPy バージョン 1.22.3 を基に作成されています。
- より詳細な情報は、NumPy ドキュメントを参照してください。
NumPy polynomial.hermite_e.HermiteE.integ() 関数のサンプルコード
3次エルミート多項式の2回積分
import numpy as np
# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])
# 2回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, m=2)
# 結果
print(integ)
積分範囲の指定
import numpy as np
# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])
# 0から1までの積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, lbnd=0, ubnd=1)
# 結果
print(integ)
このコードは、3次エルミート多項式 p
を0から1までの範囲で積分し、結果を出力します。
積分結果の利用
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])
# 2回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, m=2)
# グラフ描画
x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = integ(x)
plt.plot(x, y)
plt.show()
このコードは、3次エルミート多項式 p
を2回積分し、結果をグラフで表示します。
ガウス求積法の次数変更
import numpy as np
# 3次エルミート多項式
p = np.array([1, 2, 3, 4])
# 50次ガウス求積法による2回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p, m=2, n=50)
# 結果
print(integ)
このコードは、50次ガウス求積法を用いて3次エルミート多項式 p
を2回積分し、結果を出力します。
確率密度関数の積分
import numpy as np
# 標準正規分布の確率密度関数
def pdf(x):
return 1 / np.sqrt(2 * np.pi) * np.exp(-x**2 / 2)
# 確率密度関数の積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(pdf, lbnd=-3, ubnd=3)
# 結果
print(integ)
このコードは、標準正規分布の確率密度関数を-3から3までの範囲で積分し、結果を出力します。
多項式のリスト
import numpy as np
# 多項式のリスト
p = [np.array([1, 2]), np.array([3, 4, 5])]
# それぞれの多項式を1回積分
integ = np.polynomial.hermite_e.HermiteE.integ(p)
# 結果
print(integ)
このコードは、多項式のリスト p
の各要素を1回積分し、結果を出力します。
応用
これらのサンプルコードは、NumPy polynomial.hermite_e.HermiteE.integ()
関数の使い方を理解するだけでなく、様々な応用例に応用することができます。
補足
- これらのサンプルコードは、NumPy バージョン 1.22.3 を基に作成されています。
NumPy polynomial.hermite_e.HermiteE.integ() 関数の代替方法
手計算
次数が低いエルミート多項式の場合、手計算で積分を行うことができます。
SymPy は、シンボリック計算を行うためのPythonライブラリです。SymPyを用いて、エルミート多項式の積分を以下のように実行できます。
import sympy
# 3次エルミート多項式
p = sympy.Poly(sympy.Symbol('x')**3 + 2*sympy.Symbol('x')**2 + 3*sympy.Symbol('x') + 4)
# 2回積分
integ = sympy.integrate(p, sympy.Symbol('x'), 2)
# 結果
print(integ)
SciPy は、科学計算を行うためのPythonライブラリです。SciPyを用いて、エルミート多項式の積分を以下のように実行できます。
import scipy.integrate
# 3次エルミート多項式の係数
p = [1, 2, 3, 4]
# 2回積分
integ, _ = scipy.integrate.quad(lambda x: np.polyval(p, x), -1, 1)
# 結果
print(integ)
ガウス求積法の自作
NumPy の polynomial.hermite_e.HermiteE.integ()
関数は、ガウス求積法を用いてエルミート多項式の積分を行います。ガウス求積法を自作することで、より柔軟な積分を行うことができます。
その他のライブラリ
他にも、エルミート多項式の積分を行うライブラリがいくつか存在します。
選択基準
どの方法を選択するかは、以下の要素を考慮する必要があります。
- 積分するエルミート多項式の次数
- 積分範囲
- 精度
- 計算時間
- 使いやすさ
補足
- これらの方法は、NumPy
polynomial.hermite_e.HermiteE.integ()
関数と同様に、様々な応用例に応用することができます。 - より詳細な情報は、各ライブラリのドキュメントを参照してください。
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まとめ: numpy.copyto() 関数をマスターして、NumPyプログラミングをレベルアップ!
要素コピー: numpy. copyto()は、ソース配列の要素を、指定された宛先配列にコピーします。データ型変換: オプションでcasting引数を指定することで、データ型変換を制御できます。'no'、'equiv'、'safe'、'same_kind'の選択肢があり、それぞれ変換の許容範囲を段階的に制限します。