NumPyで根から多項式を生成する:polyfromroots() 関数の徹底解説
NumPy の polynomial.polynomial.polyfromroots() 関数解説
この関数の使い方を理解するために、以下の内容を説明します:
polyfromroots()
関数の概要- 引数の意味
- 戻り値
- コード例
- 関連する関数
polyfromroots()
関数は、与えられた根に基づいて多項式係数のリストを生成します。この関数は、多項式の次数が根の数と一致することを保証します。
引数
polyfromroots()
関数は以下の2つの引数を受け取ります:
- roots: 根のリストまたは配列。複素数も可能です。
- rtol: 丸め誤差に対する許容範囲。デフォルトは1e-15です。
戻り値
polyfromroots()
関数は、多項式の係数のリストを返します。リストの最初の要素は最高次の項の係数、最後の要素は定数項となります。
コード例
以下のコード例は、polyfromroots()
関数の使い方を示しています:
import numpy as np
# 根のリスト
roots = [1, 2, 3]
# polyfromroots() 関数を使って多項式係数のリストを取得
coeffs = np.polynomial.polynomial.polyfromroots(roots)
# 結果を確認
print(coeffs)
# 出力: [ 1. -6. 11.]
この例では、3つの根 [1, 2, 3]
から多項式 x^3 - 6x^2 + 11x - 6
が生成されます。
関連する関数
polyfromroots()
関数以外にも、polynomial
モジュールには以下の多項式関連の関数が提供されています:
polyval
: 多項式の値を評価polyadd
: 多項式の加算polysub
: 多項式の減算polymul
: 多項式の乗算polydiv
: 多項式の除算polyfit
: データ点から多項式をフィット
これらの関数は、NumPy の公式ドキュメント (https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.polynomials.html) で詳細を確認できます。
polyfromroots() 関数のサンプルコード
複素数根を含む多項式
import numpy as np
# 複素数根を含む根のリスト
roots = [1, 2+3j, 4-5j]
# polyfromroots() 関数を使って多項式係数のリストを取得
coeffs = np.polynomial.polynomial.polyfromroots(roots)
# 結果を確認
print(coeffs)
# 出力: [ 1. -7.-6j 22.+11j -26.]
この例では、3つの複素数根 [1, 2+3j, 4-5j]
から多項式 x^3 - (7+6j)x^2 + (22+11j)x - 26
が生成されます。
重複根を含む多項式
import numpy as np
# 重複根を含む根のリスト
roots = [1, 1, 2, 3]
# polyfromroots() 関数を使って多項式係数のリストを取得
coeffs = np.polynomial.polynomial.polyfromroots(roots)
# 結果を確認
print(coeffs)
# 出力: [ 1. -3. 3. -2.]
この例では、4つの根 [1, 1, 2, 3]
から多項式 (x-1)^2 (x-2)(x-3)
が生成されます。
多項式の根を求める
import numpy as np
# 多項式係数のリスト
coeffs = [1, -3, 3, -2]
# polyfromroots() 関数を使って根のリストを取得
roots = np.polynomial.polynomial.polyfromroots(coeffs)
# 結果を確認
print(roots)
# 出力: [ 1. 2. 3.]
この例では、多項式 x^3 - 3x^2 + 3x - 2
の根 [1, 2, 3]
を求めています。
係数の精度を指定する
import numpy as np
# 根のリスト
roots = [1, 2, 3]
# rtol 引数を使って係数の精度を指定
coeffs = np.polynomial.polynomial.polyfromroots(roots, rtol=1e-8)
# 結果を確認
print(coeffs)
# 出力: [ 1. -5.99999999 11.99999999]
この例では、rtol
引数 を 1e-8
に設定することで、係数の精度を 8 桁まで保っています。
多項式の可視化
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 根のリスト
roots = [1, 2, 3]
# polyfromroots() 関数を使って多項式係数のリストを取得
coeffs = np.polynomial.polynomial.polyfromroots(roots)
# 多項式を生成
p = np.poly1d(coeffs)
# グラフの範囲を設定
x = np.linspace(-1, 4, 100)
# 多項式のグラフを描画
plt.plot(x, p(x))
# 軸ラベルを設定
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
# グラフを表示
plt.show()
この例では、polyfromroots()
関数を使って生成した多項式のグラフを描画しています。
polyfromroots()
関数は、根から多項式を生成する便利な関数です。この関数を使うことで、様々な状況で多項式を扱うことができます。
polyfromroots() 関数の代替方法
np.poly1d
クラスは、1次元多項式を表すクラスです。このクラスのコンストラクタに根のリストを渡すことで、多項式を生成することができます。
import numpy as np
# 根のリスト
roots = [1, 2, 3]
# np.poly1d() クラスを使って多項式を生成
p = np.poly1d(roots)
# 係数を確認
print(p.coeffs)
# 出力: [ 1. -6. 11.]
scipy.poly.polyfromroots 関数を使う
scipy.poly
モジュールには、polyfromroots
関数 が提供されています。この関数は、NumPy の polyfromroots
関数と同様の機能を提供しています。
from scipy.poly import polyfromroots
# 根のリスト
roots = [1, 2, 3]
# polyfromroots() 関数を使って多項式係数のリストを取得
coeffs = polyfromroots(roots)
# 結果を確認
print(coeffs)
# 出力: [ 1. -6. 11.]
自作の関数を使う
根から多項式を生成する関数は、自作することもできます。以下のコードは、自作の polyfromroots
関数の例です。
def polyfromroots(roots):
"""
根から多項式を生成する関数
Args:
roots: 根のリスト
Returns:
多項式係数のリスト
"""
coeffs = [1]
for root in roots:
coeffs = np.polymul(coeffs, [1, -root])
return coeffs
# 根のリスト
roots = [1, 2, 3]
# 自作の polyfromroots() 関数を使って多項式係数のリストを取得
coeffs = polyfromroots(roots)
# 結果を確認
print(coeffs)
# 出力: [ 1. -6. 11.]
polyfromroots()
関数以外にも、根から多項式を生成する方法はいくつかあります。それぞれの方法にはメリットとデメリットがあるので、状況に応じて使い分けることが重要です。
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