金融市場や自然災害の分析に役立つ！ ガンベル分布と NumPy random.gumbel()

NumPyのランダムサンプリングにおけるrandom.gumbel()解説

ガンベル分布とは？

ガンベル分布は、極値理論において重要な役割を果たす分布です。最大値や最小値など、極端な値が出現する確率を分析する際に用いられます。

形状

ガンベル分布は、右に skewed な形状を持つ非対称な分布です。

確率密度関数

ガンベル分布の確率密度関数は以下の式で表されます。

f(x) = \frac{1}{\beta} \exp(-z - \exp(-z))

ここで、

• x は確率変数
• α は尺度パラメータ (デフォルトは 1)
• z = (x - α) / β

特性

ガンベル分布には以下のような特性があります。

• 最小値または最大値の分布を分析する際に用いられる
• 平均は α + βγ
• 分散は π^2 * β^2 / 6
• ガンベル分布の和は、再びガンベル分布に従う

NumPyのrandom.gumbel()は、ガンベル分布からランダムサンプルを生成する関数です。

引数

• size: 生成するサンプル数 (省略可能)
• loc: 位置パラメータ (デフォルトは 0)
• scale: 尺度パラメータ (デフォルトは 1)

返値

• 生成されたサンプルの配列

例

import numpy as np

# 位置パラメータ 1、尺度パラメータ 2 のガンベル分布から 5 個のサンプルを生成
samples = np.random.gumbel(size=5, loc=1, scale=2)

print(samples)

出力例

[2.3456789 1.0234567 3.456789  0.1234567 2.0123456]

ガンベル分布の利用例

ガンベル分布は、以下のような場面で利用されます。

• 洪水や地震などの極端な自然災害の発生確率を分析
• 金融市場における最大損失リスクの評価
• 通信ネットワークにおける最大トラフィック量の分析

NumPyのrandom.gumbel()は、ガンベル分布からランダムサンプルを生成する関数です。極値理論において重要な役割を果たす分布であるため、自然災害や金融市場などのリスク分析に役立ちます。

NumPy random.gumbel() サンプルコード

サンプルコード 1: ガンベル分布の確率密度関数をグラフで表示

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ設定
loc = 1
scale = 2

# x 軸の範囲設定
x = np.linspace(loc - 4 * scale, loc + 4 * scale, 100)

# 確率密度関数計算
y = np.exp(-(x - loc) / scale) * np.exp(-np.exp(-(x - loc) / scale)) / scale

# グラフ描画
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("ガンベル分布 (loc=%s, scale=%s)" % (loc, scale))
plt.show()

サンプルコード 2: ガンベル分布から乱数を生成し、ヒストグラムで表示

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ設定
loc = 1
scale = 2

# サンプル数
sample_size = 1000

# 乱数生成
samples = np.random.gumbel(size=sample_size, loc=loc, scale=scale)

# ヒストグラム描画
plt.hist(samples, bins=30, density=True)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("確率密度")
plt.title("ガンベル分布からの乱数 (loc=%s, scale=%s)" % (loc, scale))
plt.show()

サンプルコード 3: ガンベル分布の平均と分散を計算

import numpy as np

# パラメータ設定
loc = 1
scale = 2

# サンプル数
sample_size = 1000

# 乱数生成
samples = np.random.gumbel(size=sample_size, loc=loc, scale=scale)

# 平均と分散の計算
mean = np.mean(samples)
var = np.var(samples)

# 結果出力
print("平均:", mean)
print("分散:", var)

サンプルコード 4: ガンベル分布の和

import numpy as np

# パラメータ設定
loc1 = 1
scale1 = 2
loc2 = 3
scale2 = 4

# サンプル数
sample_size = 1000

# 乱数生成
samples1 = np.random.gumbel(size=sample_size, loc=loc1, scale=scale1)
samples2 = np.random.gumbel(size=sample_size, loc=loc2, scale=scale2)

# 和の計算
samples_sum = samples1 + samples2

# ヒストグラム描画
plt.hist(samples_sum, bins=30, density=True)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("確率密度")
plt.title("ガンベル分布の和 (loc1=%s, scale1=%s, loc2=%s, scale2=%s)" % (loc1, scale1, loc2, scale2))
plt.show()

ガンベル分布を扱うその他の方法

ガンベル分布の逆関数法は、逆関数を用いてガンベル分布からランダムサンプルを生成する方法です。

ガンベル分布の変換

ガンベル分布は、他の分布に変換することができます。例えば、標準正規分布に変換することで、標準正規分布の乱数生成ツールを用いてサンプルを生成することができます。

ガンベル分布のパラメータは、最尤法やベイズ推論などの方法で推定することができます。

ガンベル分布の統計的検定

ガンベル分布に従っているかどうかを検定する統計検定法があります。