モーメントからガンマ分布の性質を理解： PyTorchによる計算

PyTorchの確率分布モジュールにおけるGamma分布のモードについて

ガンマ分布は、形状パラメータ α とスケールパラメータ β を持つ連続確率分布です。形状パラメータは分布の形を決定し、スケールパラメータは分布の広がりを決定します。

ガンマ分布のモードは、以下の式で計算できます。

mode = (α - 1) * β

ここで、

• α は形状パラメータ
• β はスケールパラメータ

です。

例

以下の例では、形状パラメータ α=3 とスケールパラメータ β=2 のガンマ分布のモードを計算します。

import torch
from torch.distributions import gamma

# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0

# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)

# モードの計算
mode = gamma_dist.mode

# 結果の出力
print(f"モード: {mode}")

このコードを実行すると、以下の出力が得られます。

モード: tensor([4.])

このように、torch.distributions.gamma.Gamma.mode 属性を用いることで、ガンマ分布のモードを簡単に計算できます。

補足

• ガンマ分布のモードは、常に非負の実数となります。
• 形状パラメータ α が 1 以下の場合、モードは存在しません。
• 形状パラメータ α が 2 以下の場合、モードは 0 となります。

ガンマ分布のモードに関するサンプルコード

ガンマ分布のモードの計算

import torch
from torch.distributions import gamma

# パラメータの設定
alpha = torch.tensor([3.0, 5.0])
beta = torch.tensor([2.0, 4.0])

# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)

# モードの計算
mode = gamma_dist.mode

# 結果の出力
print(f"モード: {mode}")

ガンマ分布の確率密度関数のプロット

import torch
import matplotlib.pyplot as plt
from torch.distributions import gamma

# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0

# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)

# x軸の範囲の設定
x = torch.linspace(0.0, 10.0, 100)

# 確率密度関数の計算
pdf = gamma_dist.pdf(x)

# グラフの描画
plt.plot(x.numpy(), pdf.numpy())
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("pdf")
plt.show()

このコードは、形状パラメータ α とスケールパラメータ β を指定して、ガンマ分布の確率密度関数をプロットします。

ガンマ分布からの乱数の生成

import torch
from torch.distributions import gamma

# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0

# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)

# 乱数の生成
samples = gamma_dist.rsample((100,))

# 結果の出力
print(f"乱数: {samples}")

このコードは、形状パラメータ α とスケールパラメータ β を指定して、ガンマ分布から乱数を生成します。

ガンマ分布のモーメント

import torch
from torch.distributions import gamma

# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0

# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)

# モーメントの計算
mean = gamma_dist.mean()
variance = gamma_dist.variance()
skewness = gamma_dist.skewness()
kurtosis = gamma_dist.kurtosis()

# 結果の出力
print(f"平均: {mean}")
print(f"分散: {variance}")
print(f

ガンマ分布のモードの計算方法

ガンマ分布の定義

f(x) = \frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^{\alpha}} x^{\alpha - 1} e^{-x/\beta}

ここで、

• Γ(α) はガンマ関数
• x は確率変数

です。

ガンマ分布のモードは、確率密度関数の最大値となる値です。確率密度関数の対数を取って微分し、0 となる解を求めることで、モードを導出できます。

\frac{d}{dx} \log f(x) = \frac{d}{dx} \left[ \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta + (\alpha - 1) \log x - \frac{x}{\beta} \right] = 0

この式を解くと、以下の式が得られます。

x = (\alpha - 1) \beta

その他の方法

ガンマ分布のモードは、以下の方法でも計算できます。

• 数値計算

  確率密度関数を数値的に計算し、最大値となる値を探す方法です。

• 近似式

  形状パラメータ α が大きい場合、以下の近似式を用いることができます。

mode \approx \alpha \beta - \frac{1}{2}

ガンマ分布のモードは、形状パラメータ α とスケールパラメータ β を用いて、以下の式で計算できます。

mode = (\alpha - 1) \beta

この式は、確率密度関数の最大値となる値を導出したものです。