PyTorch Linear Algebra: torch.linalg.vander() の徹底解説

PyTorchにおける「torch.linalg.vander」の解説

torch.linalg.vander は、Vandermonde行列を生成する関数です。Vandermonde行列は、ベクトルの各要素のべき乗を列ベクトルとして並べた行列です。この関数は、PyTorchの線形代数ライブラリ torch.linalg に含まれています。

Vandermonde行列は、以下の式で定義されます。

V = [
    [1, x1, x1^2, ..., x1^(n-1)],
    [1, x2, x2^2, ..., x2^(n-1)],
    ...,
    [1, xn, xn^2, ..., xn^(n-1)]
]

ここで、x1, x2, ..., xn はベクトルの要素、n はベクトルの長さを表します。

用途

Vandermonde行列は、多項式の補間や数値積分など、様々な用途で使用されます。

PyTorchにおける実装

torch.linalg.vander は、以下の引数を受け取ります。

• x: Vandermonde行列を生成するベクトル
• n: Vandermonde行列の次数

以下のコードは、torch.linalg.vander を使用してVandermonde行列を生成する方法を示しています。

import torch

x = torch.tensor([1, 2, 3])
n = 3

v = torch.linalg.vander(x, n)

print(v)

このコードは、以下の出力を生成します。

tensor([[1, 1, 1],
       [2, 4, 8],
       [3, 9, 27]])

注意事項

• x は、浮動小数点型または複素数型のベクトルである必要があります。
• n は、正の整数である必要があります。

補足

• Vandermonde行列は、逆行列が容易に計算できるという特徴があります。
• Vandermonde行列は、数値的に不安定になる場合があるため、注意が必要です。

Vandermonde行列のサンプルコード

多項式の補間

import torch

# 補間したい点
x = torch.tensor([1, 2, 3])

# 補間したい値
y = torch.tensor([2, 4, 8])

# Vandermonde行列を生成
v = torch.linalg.vander(x, len(x))

# 係数ベクトルを計算
c = torch.linalg.lstsq(v, y, driver="gels").solution

# 補間曲線
def f(x):
    return torch.dot(c, torch.pow(x, torch.arange(len(c))))

# 補間点での値を確認
print(f(x))

数値積分

import torch

# 被積分関数
def f(x):
    return x**2

# 区間
a = 0
b = 1

# 分割数
n = 10

# Vandermonde行列を生成
v = torch.linalg.vander(torch.linspace(a, b, n), n)

# 重みベクトル
w = torch.ones(n) / n

# 積分値
I = torch.dot(v.T, w * f(v))

print(I)

このコードは、ガウス・ルジャンドル法を用いて、f(x) の区間 [a, b] 上の積分値を計算します。

行列式

import torch

x = torch.tensor([1, 2, 3])

# Vandermonde行列を生成
v = torch.linalg.vander(x, len(x))

# 行列式
det = torch.linalg.det(v)

print(det)

このコードは、Vandermonde行列の行列式を計算します。

逆行列

import torch

x = torch.tensor([1, 2, 3])

# Vandermonde行列を生成
v = torch.linalg.vander(x, len(x))

# 逆行列
inv_v = torch.linalg.inv(v)

print(inv_v)

このコードは、Vandermonde行列の逆行列を計算します。

特異値分解

import torch

x = torch.tensor([1, 2, 3])

# Vandermonde行列を生成
v = torch.linalg.vander(x, len(x))

# 特異値分解
s, u, v = torch.linalg.svd(v)

print(s, u, v)

このコードは、Vandermonde行列の特異値分解を計算します。

• Vandermonde行列は、様々なライブラリで実装されています。
• Vandermonde行列に関する詳細は、線形代数の教科書や文献を参照してください。

Vandermonde行列を生成するその他の方法

ループによる実装

def vander(x, n):
    """
    Vandermonde行列を生成する関数

    Args:
        x: Vandermonde行列を生成するベクトル
        n: Vandermonde行列の次数

    Returns:
        Vandermonde行列
    """

    v = torch.zeros(n, n)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            v[i, j] = x[i]**j

    return v

NumPyによる実装

import numpy as np

def vander(x, n):
    """
    Vandermonde行列を生成する関数

    Args:
        x: Vandermonde行列を生成するベクトル
        n: Vandermonde行列の次数

    Returns:
        Vandermonde行列
    """

    return np.vander(x, n)

この関数は、NumPyの np.vander 関数を使用してVandermonde行列を生成します。

その他のライブラリ

• SciPy: scipy.linalg.vander
• sympy: sympy.matrices.VandermondeMatrix

比較

Vandermonde行列を生成するには、様々な方法があります。最適な方法は、用途や環境によって異なります。