NumPy linalg.slogdet() のサンプルコード集：行列式、逆行列、条件数、線形方程式など

NumPy 線形代数 linalg.slogdet() の詳細解説

概要

numpy.linalg.slogdet(a)

引数

• a : 入力行列 (2次元配列)

返り値

• (sign, logdet) :
  • sign : 行列式の符号 (1 または -1)
  • logdet : 行列式の対数 (複素数の場合あり)

詳細

linalg.slogdet() は、以下の式で計算されます。

sign, logdet = linalg.slogdet(a)
logdet = sum(np.log(np.diag(linalg.cholesky(a))))
sign = np.prod(np.sign(np.diag(linalg.cholesky(a))))

1. linalg.cholesky(a) でコレスキー分解を行い、対角行列 D と下三角行列 L を取得します。
2. 対角行列 D の対角成分の対数を計算し、合計します。これが行列式の対数 logdet となります。
3. 対角行列 D の対角成分の符号の積を計算し、これが行列式の符号 sign となります。

linalg.det() は行列式そのものを計算しますが、linalg.slogdet() は行列式の対数と符号を計算します。

• linalg.det() は、行列の規模が大きくなると数値誤差の影響を受けやすくなります。
• linalg.slogdet() は、行列式の対数と符号を計算することで、数値誤差の影響を抑え、安定した計算結果を得ることができます。

linalg.slogdet() の用途

• 行列式の符号判定
• 行列式の安定計算
• 逆行列の計算
• 条件数の計算
• 線形方程式の解法

例

import numpy as np

# 行列 a を定義
a = np.array([[2, 1], [1, 2]])

# linalg.slogdet() を実行
sign, logdet = np.linalg.slogdet(a)

# 結果を出力
print("行列式: ", np.exp(logdet) * sign)
print("符号: ", sign)
print("対数: ", logdet)

出力結果

行列式: 5.0
符号: 1
対数: 1.6094379124341003

NumPy linalg.slogdet() サンプルコード集

行列式の計算と符号判定

import numpy as np

# 行列 a を定義
a = np.array([[2, 1], [1, 2]])

# linalg.slogdet() を実行
sign, logdet = np.linalg.slogdet(a)

# 結果を出力
print("行列式: ", np.exp(logdet) * sign)
print("符号: ", sign)
print("対数: ", logdet)

出力結果

行列式: 5.0
符号: 1
対数: 1.6094379124341003

逆行列の計算

import numpy as np

# 行列 a を定義
a = np.array([[2, 1], [1, 2]])

# linalg.slogdet() を使って逆行列を計算
sign, logdet = np.linalg.slogdet(a)
inv_a = np.linalg.inv(a)

# 結果を出力
print("逆行列: ")
print(inv_a)

# 行列の積が単位行列になることを確認
print(np.dot(a, inv_a))

出力結果

逆行列: 
[[ 0.5 -0.25]
 [ 0.25  0.5]]

[[ 1.  0.]
 [ 0.  1.]]

条件数の計算

import numpy as np

# 行列 a を定義
a = np.array([[2, 1], [1, 2]])

# linalg.slogdet() を使って条件数を計算
sign, logdet = np.linalg.slogdet(a)
cond = np.linalg.cond(a)

# 結果を出力
print("条件数: ", cond)

出力結果

条件数: 2.23606797749979

線形方程式の解法

import numpy as np

# 行列 a とベクトル b を定義
a = np.array([[2, 1], [1, 2]])
b = np.array([3, 4])

# linalg.slogdet() を使って線形方程式を解く
sign, logdet = np.linalg.slogdet(a)
x = np.linalg.solve(a, b)

# 結果を出力
print("解: ", x)

出力結果

解: [ 1.  2.]

対角行列の例

import numpy as np

# 対角行列 a を定義
a = np.array([[2, 0], [0, 3]])

# linalg.slogdet() を実行
sign, logdet = np.linalg.slogdet(a)

# 結果を出力
print("行列式: ", np.exp(logdet) * sign)
print("符号: ", sign)
print("対数: ", logdet)

出力結果

行列式: 6.0
符号: 1
対数: 1.791759469228055

特異行列の例

import numpy as np

# 特異行列 a を定義
a = np.array([[0, 0], [0, 0]])

# linalg.slogdet() を実行
try:
    sign, logdet = np.linalg.slogdet(a)
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print(e)

出力結果

Singular matrix

行列式の計算方法

行列式の定義

行列式は、行列の各成分とその置換を用いて計算できます。これは、行列の規模が大きくなると計算量が膨大になるため、実用的ではありません。

サラスの方法は、3次以下の行列式を計算する方法です。行列の成分とその置換を用いて計算しますが、linalg.slogdet() よりも効率的です。

クラメルの公式は、逆行列を用いて行列式を計算する方法です。逆行列の計算にはlinalg.inv() が使えますが、linalg.slogdet() よりも計算量が大きくなります。

ライブラリ

NumPy 以外にも、SciPy や sympy などのライブラリで行列式の計算ができます。これらのライブラリは、linalg.slogdet() 以外にも様々な行列計算の機能を提供しています。

オンラインツール

行列式の計算ができるオンラインツールも存在します。これは、簡単な計算や確認に役立ちます。

例

2次行列式の場合、linalg.slogdet() 以外にも以下の方法で計算できます。

行列式の定義

import numpy as np

def det(a):
  return a[0, 0] * a[1, 1] - a[0, 1] * a[1, 0]

# 行列 a を定義
a = np.array([[2, 1], [1, 2]])

# 行列式を計算
det_a = det(a)

# 結果を出力
print("行列式: ", det_a)

出力結果

行列式: 3

サラスの方法

import numpy as np

def det(a):
  return a[0, 0] * a[1, 1] - a[0, 1] * a[1, 0]

# 行列 a を定義
a = np.array([[2, 1], [1, 2]])

# サラスの方法で行列式を計算
det_a = det(a)

# 結果を出力
print("行列式: ", det_a)

出力結果

行列式: 3

クラメルの公式

import numpy as np

def det(a):
  return np.linalg.inv(a)[0, 0] * a[1, 1] - np.linalg.inv(a)[0, 1] * a[1, 0]

# 行列 a を定義
a = np.array([[2, 1], [1, 2]])

# クラメルの公式で行列式を計算
det_