サンプルコード集： polynomial.hermite.hermgauss() の様々な使い方

NumPyの多項式：polynomial.hermite.hermgauss()

H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}

関数の詳細

引数

• degint：サンプル点と重みの個数。1以上の整数が必要です。

戻り値

• x：サンプル点を含む1次元ndarray
• y：重みを含む1次元ndarray

用途

hermgauss() は、以下の用途に使用できます。

• 区間 [-1, 1] 上の重み関数 exp(-x^2) を伴う多項式の数値積分
• ガウス・エルミート求積法を用いた微分方程式の解法
• 確率論や統計学における数値計算

例

import numpy as np

# サンプル点と重みの個数を指定
degint = 5

# サンプル点と重みを計算
x, y = np.polynomial.hermite.hermgauss(degint)

# 結果を表示
print("サンプル点:", x)
print("重み:", y)

このコードは、5個のサンプル点と重みを計算し、それぞれを表示します。

補足

• hermgauss() は、NumPy 1.7.0 以降で利用可能です。
• サンプル点と重みは、ガウス・エルミート求積法において最適な精度で積分を行うために選ばれています。

NumPy polynomial.hermite.hermgauss() のサンプルコード

サンプル点と重みの計算

import numpy as np

# サンプル点と重みの個数を指定
degint = 5

# サンプル点と重みを計算
x, y = np.polynomial.hermite.hermgauss(degint)

# 結果を表示
print("サンプル点:", x)
print("重み:", y)

このコードは、5個のサンプル点と重みを計算し、それぞれを表示します。

重み関数 exp(-x^2) を伴う多項式の数値積分

import numpy as np

# 被積分関数
def f(x):
  return x**2 * np.exp(-x**2)

# サンプル点と重みの個数を指定
degint = 5

# サンプル点と重みを計算
x, y = np.polynomial.hermgauss(degint)

# 数値積分を実行
integral = np.sum(y * f(x))

# 結果を表示
print("数値積分:", integral)

このコードは、重み関数 exp(-x^2) を伴う多項式 x^2 の数値積分を実行し、結果を表示します。

ガウス・エルミート求積法を用いた微分方程式の解法

import numpy as np

# 微分方程式
def f(x, y):
  return -y**2

# 初期条件
y0 = 1

# サンプル点と重みの個数を指定
degint = 5

# サンプル点と重みを計算
x, y = np.polynomial.hermite.hermgauss(degint)

# ガウス・エルミート求積法を用いて微分方程式を解
y_sol = np.zeros_like(x)
for i in range(degint):
  y_sol[i] = y0 * np.exp(-0.5 * x[i]**2) * np.sum(y * f(x, y_sol[i]))

# 結果を表示
print("解:", y_sol)

このコードは、ガウス・エルミート求積法を用いて微分方程式 y' = -y^2 を解き、結果を表示します。

確率論や統計学における数値計算

hermgauss() 関数は、確率論や統計学における数値計算にも使用できます。

例えば、正規分布の確率密度関数を数値積分したり、ランダムサンプルを生成したりすることができます。

import numpy as np

# 正規分布の確率密度関数
def f(x):
  return 1 / np.sqrt(2 * np.pi) * np.exp(-0.5 * x**2)

# サンプル点と重みの個数を指定
degint = 5

# サンプル点と重みを計算
x, y = np.polynomial.hermite.hermgauss(degint)

# 確率密度関数を数値積分
integral = np.sum(y * f(x))

# 結果を表示
print("確率密度関数の数値積分:", integral)

このコードは、正規分布の確率密度関数を数値積分し、結果を表示します。

hermgauss() 関数は、さまざまな用途に使用できる強力なツールです。

この関数を使いこなすことで、数値積分、微分方程式の解法、確率論や統計学における計算など、さまざまなタスクを効率的に処理することができます。

補足

• サンプルコードは、NumPy 1.7.0 以降で動作します。

NumPy polynomial.hermite.hermgauss() の代替方法

この関数の代替方法としては、以下のようなものがあります。

ガウス・エルミート求積法の公式は以下の通りです。

\int_{-1}^1 f(x) exp(-x^2) dx \approx \sum_{i=0}^{degint-1} w_i f(x_i)

ここで、x_i と w_i は、degint 次のエルミート多項式 H_n(x) の根と重みです。

これらの値は、手計算で求めることもできますが、計算量が多くなります。

その他のライブラリの利用

SciPyなどの他のライブラリにも、ガウス・エルミート求積法のための関数を提供しているものがあります。

例えば、SciPyでは scipy.integrate.quadrature 関数を使用することができます。

from scipy import integrate

# 被積分関数
def f(x):
  return x**2 * np.exp(-x**2)

# サンプル点と重みの個数を指定
degint = 5

# ガウス・エルミート求積法を実行
integral, _ = integrate.quadrature(f, -1, 1, n=degint)

# 結果を表示
print("数値積分:", integral)

このコードは、SciPyの quadrature 関数を使用して、重み関数 exp(-x^2) を伴う多項式 x^2 の数値積分を実行し、結果を表示します。

自作関数による実装

ガウス・エルミート求積法の公式に基づいて、自作関数を実装することもできます。

自作関数は、以下の手順で実装することができます。

1. エルミート多項式の根と重みを計算する関数を実装する。
2. ガウス・エルミート求積法の公式に基づいて、数値積分を行う関数を実装する。

自作関数は、ライブラリの関数よりも柔軟性がありますが、実装には時間がかかります。

hermgauss() 関数の代替方法はいくつかありますが、それぞれメリットとデメリットがあります。

どの方法を選択するかは、計算量、精度、柔軟性などの要件によって異なります。