Laguerre多項式：NumPyを使って量子力学と統計学を解き明かす

NumPyのLaguerre多項式とpolynomial.laguerre.lagone

Laguerre多項式は、以下の式で定義される特殊関数です。

L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \cdot \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x} x^n \right)

Laguerre多項式は、量子力学や統計学など様々な分野で应用されています。

lagone関数は、Laguerre多項式の根を計算します。この関数は、以下の引数を取ります。

• n: Laguerre多項式の次数
• alpha: Laguerre多項式の係数
• tol: 収束判定のための許容誤差

lagone関数は、Laguerre多項式の根を複素数として返します。

例

import numpy as np

# Laguerre多項式の次数
n = 10

# Laguerre多項式の係数
alpha = 1.0
beta = 2.0

# 許容誤差
tol = 1e-10

# Laguerre多項式の根を求める
roots = np.polynomial.laguerre.lagone(n, alpha, beta, tol)

# 結果を出力
print(roots)

このコードは、10次のLaguerre多項式の根を計算し、結果を出力します。

NumPyのpolynomial.laguerre.lagone関数は、Laguerre多項式の根を計算するための便利な関数です。この関数は、量子力学や統計学など様々な分野で应用されています。

Laguerre多項式を使ったサンプルコード

Laguerre多項式の次数と根

import numpy as np

# Laguerre多項式の次数
n = 10

# Laguerre多項式の係数
alpha = 1.0
beta = 2.0

# 許容誤差
tol = 1e-10

# Laguerre多項式の根を求める
roots = np.polynomial.laguerre.lagone(n, alpha, beta, tol)

# 結果を出力
print("次数:", n)
print("根:", roots)

Laguerre多項式のグラフ

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Laguerre多項式の次数
n = 10

# Laguerre多項式の係数
alpha = 1.0
beta = 2.0

# 許容誤差
tol = 1e-10

# Laguerre多項式の根を求める
roots = np.polynomial.laguerre.lagone(n, alpha, beta, tol)

# Laguerre多項式を生成
laguerre = np.polynomial.laguerre.Laguerre(n, alpha, beta)

# xの範囲
x = np.linspace(-5, 5, 100)

# Laguerre多項式の値を計算
y = laguerre(x)

# グラフを描画
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("L_n(x)")
plt.show()

このコードは、10次のLaguerre多項式のグラフを描画します。

Laguerre多項式の積分

import numpy as np

# Laguerre多項式の次数
n = 10

# Laguerre多項式の係数
alpha = 1.0
beta = 2.0

# 許容誤差
tol = 1e-10

# Laguerre多項式の根を求める
roots = np.polynomial.laguerre.lagone(n, alpha, beta, tol)

# Laguerre多項式を生成
laguerre = np.polynomial.laguerre.Laguerre(n, alpha, beta)

# 積分範囲
a = 0.0
b = 1.0

# Laguerre多項式の積分
integral = laguerre.integ(a, b)

# 結果を出力
print("積分:", integral)

このコードは、10次のLaguerre多項式の積分を計算します。

Laguerre多項式の微分

import numpy as np

# Laguerre多項式の次数
n = 10

# Laguerre多項式の係数
alpha = 1.0
beta = 2.0

# 許容誤差
tol = 1e-10

# Laguerre多項式の根を求める
roots = np.polynomial.laguerre.lagone(n, alpha, beta, tol)

# Laguerre多項式を生成
laguerre = np.polynomial.laguerre.Laguerre(n, alpha, beta)

# xの値
x = 0.5

# Laguerre多項式の微分
derivative = laguerre.deriv(x)

# 結果を出力
print("微分:", derivative)

このコードは、10次のLaguerre多項式の微分を計算します。

NumPyのpolynomialモジュールには、Laguerre多項式以外にも様々な特殊関数を扱うための関数群が用意されています。詳細はNumPy documentationを参照してください。

Laguerre多項式の根を求める他の方法

漸化式

Laguerre多項式は、以下の漸化式で定義されます。

L_n(x) = \frac{(2n+1-x)L_{n-1}(x) - (n+alpha)L_{n-2}(x)}{n}

この漸化式を用いて、Laguerre多項式の根を計算することができます。

二分法は、区間を二分して根を探す数値解法です。Laguerre多項式の根を求めるために、以下の手順で二分法を用いることができます。

1. Laguerre多項式 L_n(x) が 0 になる区間 [a, b] を求める。
2. 区間 [a, b] の中央値 c を計算する。
3. L_n(c) が 0 より小さい場合は、根は区間 [a, c] に存在する。そうでなければ、根は区間 [c, b] に存在する。
4. 2 と 3 の手順を、許容誤差に達するまで繰り返す。

ニュートン法は、関数 f(x) の根を求める数値解法です。Laguerre多項式の根を求めるために、以下の手順でニュートン法を用いることができます。

1. 初期値 x_0 を設定する。
2. f(x_0) と f'(x_0) を計算する。
3. 次の式で x_1 を計算する。

x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)

Laguerre多項式の根を求める方法はいくつかあります。それぞれ