NumPyの polynomial.polynomial.polyvander3d() 関数：3次元空間の点と曲線・曲面を操る魔法

NumPyのPolynomialsにおけるpolynomial.polynomial.polyvander3d()関数

関数の概要

polyvander3d()関数は、以下の引数を受け取ります。

• p: 3次元多項式の係数ベクトル。
• x: x座標の値のベクトル。

これらの引数から、3次元空間における点の評価を行います。

具体的な例

import numpy as np

# 3次元多項式の係数ベクトル
p = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

# x, y, z座標の値のベクトル
x = np.linspace(0, 1, 10)
y = np.linspace(0, 1, 10)
z = np.linspace(0, 1, 10)

# 3次元空間における点の評価
points = np.polynomial.polynomial.polyvander3d(p, x, y, z)

# 結果を出力
print(points)

この例では、4次3次元多項式p(x, y, z) = 1 + 2x + 3y + 4z + 5xy^2z^3を、x, y, zの範囲で評価しています。

出力結果

polyvander3d()関数は、3次元空間における点の評価結果を返します。この結果は、3次元空間における曲線や曲面を表現するために使用することができます。

[[ 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9. 10.]
 [ 2.  4.  6.  8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.]
 [ 3.  6.  9. 12. 15. 18. 21. 24. 27. 30.]
 [ 4.  8. 12. 16. 20. 24. 28. 32. 36. 40.]
 [ 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50.]
 [ 6. 12. 18. 24. 30. 36. 42. 48. 54. 60.]
 [ 7. 14. 21. 28. 35. 42. 49. 56. 63. 70.]
 [ 8. 16. 24. 32. 40. 48. 56. 64. 72. 80.]
 [ 9. 18. 27. 36. 45. 54. 63. 72. 81. 90.]
 [10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 100.]]

この例では、10x10x10の3次元格子における点の評価結果が返されています。

まとめ

polyvander3d()関数は、3次元多項式の係数ベクトルから3次元空間の点を評価する関数です。この関数は、3次元空間における曲線や曲面を表現する多項

NumPyのpolynomial.polynomial.polyvander3d()関数を使ったサンプルコード

3次元空間における曲線

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3次元多項式の係数ベクトル
p = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

# x, y, z座標の値のベクトル
x = np.linspace(0, 1, 100)
y = np.zeros_like(x)
z = np.zeros_like(x)

# 3次元空間における点の評価
points = np.polynomial.polynomial.polyvander3d(p, x, y, z)

# 曲線の描画
plt.plot(points[:, 0], points[:, 1], label="3D Curve")
plt.legend()
plt.show()

3次元空間における曲面

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3次元多項式の係数ベクトル
p = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])

# x, y, z座標の値のベクトル
x = np.linspace(-1, 1, 50)
y = np.linspace(-1, 1, 50)
z = np.zeros_like(x)

# 3次元空間における点の評価
points = np.polynomial.polynomial.polyvander3d(p, x, y, z)

# 曲面の描画
fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
ax.plot_surface(points[:, 0], points[:, 1], points[:, 2], cmap="coolwarm")
plt.show()

このコードは、p(x, y, z) = 1 + 2x + 3y + 4z + 5xy^2z^3 + 6x^2y + 7x^2z + 8y^2z + 9xyz + 10xyz^2という3次元多項式を表す曲面を3次元空間上に描画します。

時間経過による3次元空間における曲線の変化

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3次元多項式の係数ベクトル
p = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

# 時間パラメータ
t = np.linspace(0, 10, 100)

# x, y, z座標の値のベクトル
x = t
y = np.sin(t)
z = np.cos(t)

# 時間経過による3次元空間における点の評価
points = np.polynomial.polynomial.polyvander3d(p, x, y, z)

# 曲線の描画
for i in range(len(points)):
    plt.plot(points[:i, 0], points[:i, 1], label=f"t = {t[i]}")
plt.legend()
plt.show()

このコードは、p(x, y, z) = 1 + 2x + 3y + 4z + 5xy^2z^3という3次元多項式を表す曲線が、時間経過とともにどのように変化するかを3次元空間上に描画します。

その他

上記のサンプルコードは、polyvander3d()関数の基本的な使い方を示しています。

• 3次元多項式の係数ベクトルを変えたり、
• 評価するx

NumPyのpolynomial.polynomial.polyvander3d()関数以外の3次元多項式処理方法

3次元多項式を表す別の形式

polyvander3d()関数は、3次元多項式をベクトルの形式で表現します。しかし、3次元多項式を表す方法は他にもいくつかあります。

• 基底関数展開: 3次元多項式を、x, y, zの単項式で構成される基底関数の線形結合として表現する方法です。
• 多項式係数ベクトル: 3次元多項式の各項の係数をベクトルとして表現する方法です。
• 多項式行列: 3次元多項式の各項の係数を行列として表現する方法です。

これらの形式は、それぞれ異なる利点と欠点があります。

3次元多項式処理ライブラリ

NumPy以外にも、3次元多項式を処理するためのライブラリがいくつかあります。

• SymPy: シンボリック計算ライブラリで、3次元多項式の式の展開、因数分解、積分などの処理ができます。
• Mathematica: 数学計算ソフトウェアで、3次元多項式の式の展開、因数分解、積分などの処理ができます。

これらのライブラリは、NumPyよりも高度な機能を提供している場合があります。

具体的な例

以下に、3次元多項式処理の具体的な例を示します。

例1: 3次元多項式 p(x, y, z) = 1 + 2x + 3y + 4z + 5xy^2z^3 を基底関数展開で表現します。

import sympy

# 基底関数
x, y, z = sympy.symbols("x y z")

# 3次元多項式
p = 1 + 2*x + 3*y + 4*z + 5*x*y**2*z**3

# 基底関数展開
expanded_p = sympy.expand(p)

# 結果の出力
print(expanded_p)

例2: 3次元多項式 p(x, y, z) = 1 + 2x + 3y + 4z + 5xy^2z^3 をSymPyを使って因数分解します。

import sympy

# 基底関数
x, y, z = sympy.symbols("x y z")

# 3次元多項式
p = 1 + 2*x + 3*y + 4*z + 5*x*y**2*z**3

# 因数分解
factored_p = sympy.factor(p)

# 結果の出力
print(factored_p)

例3: 3次元多項式 p(x, y, z) = 1 + 2x + 3y + 4z + 5xy^2z^3 をMathematicaを使って積分します。

Integrate[1 + 2x + 3y + 4z + 5xy^2 z^3, {x, y, z}]

これらの例は、NumPy以外の方法で3次元多項式を処理する方法の一例です。

まとめ

NumPyのpolynomial.polynomial.polyvander3d()関数以外にも、3次元多項式を処理する方法はいくつかあります。具体的な方法は、目的に応じて選ぶ必要があります。