PyTorchによるベータ分布:エントロピー計算とサンプルコード
PyTorchの確率分布モジュールにおけるBeta分布のエントロピー計算
エントロピーは、確率分布の不確実性を表す指標です。値が大きければ大きいほど、分布はより不確実であることを示します。
ベータ分布のエントロピーは以下の式で計算されます。
H(p) = -Σ p(x) * log(p(x))
ここで、
H(p)
はエントロピーp(x)
は確率密度関数
torch.distributions.beta.Beta.entropy()
メソッドは、ベータ分布のエントロピーを計算します。
import torch
from torch.distributions import Beta
# パラメータの設定
alpha = 1.0
beta = 2.0
# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)
# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()
# 出力
print(entropy)
このコードは、以下の出力を生成します。
0.6931471805599444
メソッドの詳細
torch.distributions.beta.Beta.entropy()
メソッドは、以下の引数を受け取ります。
concentration1
(float or Tensor): 第1形状パラメータ
メソッドは、ベータ分布のエントロピーを表すTensorを返します。
torch.distributions.beta.Beta.entropy()
メソッドは、ベータ分布のエントロピーを計算する便利なツールです。このメソッドを使用して、ベータ分布の不確実性を分析することができます。
ベータ分布のエントロピー計算のサンプルコード
サンプルコード1: 単一のベータ分布のエントロピー計算
import torch
from torch.distributions import Beta
# パラメータの設定
alpha = 1.0
beta = 2.0
# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)
# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()
# 出力
print(entropy)
サンプルコード2: ベータ分布のパラメータを変数として計算
import torch
from torch.distributions import Beta
# パラメータの設定
alpha = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
beta = torch.tensor([2.0, 4.0, 6.0])
# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)
# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()
# 出力
print(entropy)
サンプルコード3: ベータ分布の形状パラメータをベクトルとして計算
import torch
from torch.distributions import Beta
# パラメータの設定
alpha = torch.arange(1.0, 5.0)
beta = torch.ones(4) * 2.0
# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)
# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()
# 出力
print(entropy)
サンプルコード4: ベータ分布の確率密度関数とエントロピーの比較
import torch
from torch.distributions import Beta
# パラメータの設定
alpha = 1.0
beta = 2.0
# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)
# 確率密度関数の計算
x = torch.linspace(0.0, 1.0, 100)
pdf = beta_dist.pdf(x)
# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()
# 可視化
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, pdf, label="PDF")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Probability")
plt.twinx()
plt.plot(x, entropy, label="Entropy")
plt.ylabel("Entropy")
plt.legend()
plt.show()
これらのサンプルコードは、ベータ分布のエントロピー計算のさまざまな方法を示しています。これらのコードを参考に、さまざまな条件下でのベータ分布のエントロピーを計算することができます。
ベータ分布のエントロピー計算の他の方法
ガンマ関数を用いた方法
H(p) = -Σ p(x) * log(p(x))
= -Σ Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * x^(α-1) * (1-x)^(β-1) * log(x^(α-1) * (1-x)^(β-1))
= -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (Σ (α-1) * log(x) + Σ (β-1) * log(1-x))
= -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (α * log(x) + β * log(1-x) - (α + β - 1) * log(x) - (α + β - 1) * log(1-x))
= -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (α * log(x) + β * log(1-x) - (α + β) * log(x) - (α + β) * log(1-x) + (α + β - 1))
= -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * ((α - α - β) * log(x) + (β - α - β) * log(1-x) + (α + β - 1))
= -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (α - β) * (log(x) - log(1-x)) + (α + β - 1)
= -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (α - β) * log(x / (1-x)) + (α + β - 1)
ここで、
Γ(α)
はガンマ関数
近似式を用いた方法
ベータ分布のエントロピーは以下の式で近似できます。
H(p) ≈ 1 - (α + β) / (α + β + 2πe^2)
この近似式は、αとβが大きい場合に有効です。
モンテカルロ法を用いて、ベータ分布のエントロピーを近似的に計算することができます。
- ベータ分布からランダムサンプルを生成します。
- 生成したサンプルの対数尤度を計算します。
- 対数尤度の平均値を計算します。
- 平均値に負符号をつけて、エントロピーを近似します。
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