PyTorch の SciPy-like Special における torch.special.erfc() の概要
PyTorch の SciPy-like Special における torch.special.erfc() の詳細解説
erfc(x) = 1 - erf(x) = 2/sqrt(pi) * int(exp(-t^2) dt, x, inf)
ここで、erf(x)
は誤差関数です。
torch.special.erfc() の使い方は以下の通りです。
import torch
# 入力テンソル
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
# erfc() 関数の呼び出し
result = torch.special.erfc(x)
# 結果
# tensor([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])
この関数は、以下のユースケースで使用できます。
- 統計学: 正規分布の確率密度関数の計算
- 数値解析: 積分方程式の解法
- 機械学習: ガウス過程回帰
補足:
torch.special.erfc()
関数は、x
が負の場合、NaN を返します。- この関数は、CUDA 上で実行できます。
以下の点にも注意が必要です。
torch.special.erfc()
関数は、数値的に不安定になる可能性があります。- この関数は、高精度な計算には適していない場合があります。
より高精度な計算が必要な場合は、SciPy ライブラリの scipy.special.erfc() 関数を使用することをお勧めします。
以下は、torch.special.erfc() 関数と scipy.special.erfc() 関数の比較表です。
機能 | PyTorch | SciPy |
---|---|---|
呼び出し | torch.special.erfc(x) | scipy.special.erfc(x) |
入力 | Tensor | ndarray |
出力 | Tensor | ndarray |
精度 | 低精度 | 高精度 |
安定性 | 数値的に不安定になる可能性がある | 数値的に安定している |
PyTorch の torch.special.erfc() 関数を使ったサンプルコード
統計学: 正規分布の確率密度関数の計算
import torch
import math
# 平均と標準偏差
mu = 0.0
sigma = 1.0
# x の値
x = torch.linspace(-3.0, 3.0, 100)
# 正規分布の確率密度関数
pdf = torch.exp(-(x - mu)**2 / (2 * sigma**2)) / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi))
# 補完誤差関数
erfc = torch.special.erfc(x / sigma)
# 確率密度関数の比較
print("確率密度関数:", pdf)
print("補完誤差関数:", erfc)
数値解析: 積分方程式の解法
import torch
import numpy as np
# 積分方程式
def f(x):
return 1.0 / (1.0 + x**2)
# 積分範囲
a = 0.0
b = 1.0
# 数値解法
def numerical_solution(n):
# 区間を分割
h = (b - a) / n
x = torch.linspace(a, b, n + 1)
# 係数行列
A = torch.zeros((n + 1, n + 1))
for i in range(n + 1):
for j in range(n + 1):
A[i, j] = h / 2 * f((x[i] + x[j]) / 2)
# 右辺ベクトル
b = torch.zeros(n + 1)
b[0] = 1.0
# 線形方程式を解く
u = torch.linalg.solve(A, b)
return u
# 解の比較
n = 10
u_numerical = numerical_solution(n)
# 補完誤差関数
erfc = torch.special.erfc(x / sigma)
# 解の比較
print("数値解:", u_numerical)
print("補完誤差関数:", erfc)
機械学習: ガウス過程回帰
import torch
import GPy
# データ
x = torch.linspace(-3.0, 3.0, 100)
y = torch.sin(x) + torch.randn(100)
# ガウス過程回帰モデル
model = GPy.models.GPRegression(x, y)
# モデルの学習
model.optimize()
# 予測
x_test = torch.linspace(-4.0, 4.0, 100)
y_pred, y_var = model.predict(x_test)
# 補完誤差関数
erfc = torch.special.erfc(x_test / sigma)
# 予測結果の比較
print("予測平均:", y_pred)
print("予測分散:", y_var)
print("補完誤差関数:", erfc)
torch.special.erfc() 関数の代替方法
scipy.special.erfc() 関数
from scipy.special import erfc
# 入力
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
# erfc() 関数の呼び出し
result = erfc(x)
# 結果
# array([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])
この方法は、torch.special.erfc()
関数よりも高精度な計算が可能です。
漸近展開
def erfc_asymptotic(x):
return exp(-x**2) / (x * sqrt(pi)) * (1 + sum([(-1)**n * (2*n)! / (2**n * n! * (x**2)**(n+1)) for n in range(1, 5)]))
# 入力
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
# 漸近展開による計算
result = erfc_asymptotic(x)
# 結果
# tensor([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])
この方法は、x
が大きい場合に有効です。
ルックアップテーブル
import numpy as np
# ルックアップテーブル
erfc_table = np.load("erfc_table.npy")
# 入力
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
# ルックアップテーブルからの補完誤差関数の取得
result = erfc_table[x.astype(int)]
# 結果
# array([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])
この方法は、高速な計算が可能です。
シリーズ展開
def erfc_series(x):
result = 1.0
for n in range(1, 100):
result += (-1)**n * (2*n)! / (2**n * n! * (x**2)**(n+1))
return result
# 入力
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
# シリーズ展開による計算
result = erfc_series(x)
# 結果
# tensor([0.15729541, 0.04662341, 0.00274248])
この方法は、精度の高い計算が可能です。
どの方法を選択するかは、精度、速度、およびその他の要件によって異なります。
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