NumPyのRandom Samplingにおけるfloat random_gamma_f()解説

2024-04-02

NumPyのRandom Samplingにおけるfloat random_gamma_f()解説

関数の概要

float random_gamma_f(alpha, beta)

alpha: 形状パラメータ (float型)
beta: スケールパラメータ (float型)
返り値: ガンマ分布からのランダムサンプル (float型)

ガンマ分布は、確率密度関数が以下の式で表される連続確率分布です。

f(x) = \frac{x^{α-1}e^{-x/β}}{\Gamma(α)β^α}

α: 形状パラメータ (正の実数)
β: スケールパラメータ (正の実数)
Γ(α): ガンマ関数

形状パラメータαは、分布の形状を決定します。αが大きくなるほど、分布は右に偏ります。スケールパラメータβは、分布のスケールを決定します。βが大きくなるほど、分布は広がります。

random_gamma_f()の例

import numpy as np

# 形状パラメータとスケールパラメータを指定
alpha = 2.0
beta = 3.0

# ガンマ分布からのランダムサンプルを生成
sample = np.random.gamma_f(alpha, beta)

# 結果を出力
print(sample)

この例では、形状パラメータ2.0とスケールパラメータ3.0を持つガンマ分布からのランダムサンプルを生成します。

補足

random_gamma_f()は、C言語のgsl_ran_gamma関数をラップしています。
生成されるランダムサンプルは、擬似乱数と呼ばれる数値です。真の乱数とは異なり、完全にランダムではなく、ある程度の規則性を持っています。
NumPyには、ガンマ分布以外にも様々な確率分布からのランダムサンプルを生成する関数があります。詳細は、NumPyのドキュメントを参照してください。

ガンマ分布からのランダムサンプルを利用するサンプルコード

ガンマ分布の確率密度関数を可視化

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 形状パラメータとスケールパラメータを指定
alpha = 2.0
beta = 3.0

# x軸の範囲を定義
x = np.linspace(0, 10, 100)

# ガンマ分布の確率密度関数を計算
y = np.random.gamma_f(alpha, beta, x.size)

# グラフを描画
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.show()

ガンマ分布からのランダムサンプルを比較

import numpy as np

# 形状パラメータとスケールパラメータの異なる組み合わせ
param_sets = [
    (2.0, 3.0),
    (5.0, 1.0),
    (10.0, 0.5),
]

# 各組み合わせについて10個のサンプルを生成
for alpha, beta in param_sets:
    samples = np.random.gamma_f(alpha, beta, 10)
    print(f"alpha={alpha}, beta={beta}: {samples}")

このコードは、形状パラメータとスケールパラメータの異なる組み合わせについて、それぞれ10個のランダムサンプルを生成し、比較します。

ガンマ分布を利用した統計モデリング

import numpy as np
from scipy import stats

# データと形状パラメータを指定
data = np.array([1.2, 3.4, 5.6, 7.8, 9.0])
alpha = 2.0

# スケールパラメータを推定
beta_mle = stats.gamma.fit(data, alpha).scale

# ガンマ分布からのランダムサンプルを生成
samples = np.random.gamma_f(alpha, beta_mle, 10)

# 結果を出力
print(f"推定されたスケールパラメータ: {beta_mle}")
print(f"生成されたランダムサンプル: {samples}")

このコードは、データと形状パラメータに基づいてスケールパラメータを推定し、推定されたパラメータを用いてガンマ分布からのランダムサンプルを生成します。

ガンマ分布を利用したシミュレーション

import numpy as np

# シミュレーション回数
n_simulations = 100

# 平均と標準偏差を計算
means = []
stds = []

for _ in range(n_simulations):
    # 形状パラメータとスケールパラメータを指定
    alpha = np.random.uniform(1, 10)
    beta = np.random.uniform(1, 10)

    # ガンマ分布からのランダムサンプルを生成
    samples = np.random.gamma_f(alpha, beta, 100)

    # 平均と標準偏差を計算
    means.append(np.mean(samples))
    stds.append(np.std(samples))

# 結果を出力
print(f"平均: {np.mean(means)}")
print(f"標準偏差: {np.mean(stds)}")

このコードは、形状パラメータとスケールパラメータをランダムに生成し、それらのパラメータを持つガンマ分布からのランダムサンプルを生成します。そして、生成されたサンプルの平均と標準偏差を計算し、統計量を分析します。

これらのコードはあくまでも例であり、用途に合わせて様々なコードを書くことができます。

ガンマ分布からのランダムサンプル生成方法

逆変換法は、確率分布の累積分布関数を逆関数として利用する方法です。ガンマ分布の累積分布関数は以下の式で表されます。

F(x) = \frac{1}{\Gamma(α)} \int_0^x t^{α-1}e^{-t/β} dt

この式を逆関数として解くことで、ランダム変数xを生成することができます。

棄却法は、ある確率分布からランダムサンプルを生成し、別の確率分布に合うように調整する方法です。ガンマ分布の場合、指数分布とガンマ分布の形状パラメータ1の分布を利用して棄却法を行うことができます。

補助変数法は、別の確率分布からのランダムサンプルを利用して、目的とする確率分布からのランダムサンプルを生成する方法です。ガンマ分布の場合、一様分布とベータ分布を利用して補助変数法を行うことができます。

特殊関数ライブラリ

GNU Scientific Library (GSL) や Math.NET Numerics などの特殊関数ライブラリには、ガンマ分布からのランダムサンプルを生成する関数が含まれています。

NumPyのrandom_gamma_f()は、使い方が簡単で、多くの場合十分な精度でランダムサンプルを生成できます。
逆変換法は、精度が高いですが、計算コストが高くなります。
棄却法と補助変数法は、精度と計算コストのバランスが取れています。
特殊関数ライブラリは、高精度なランダムサンプルを生成したい場合に便利です。

具体的な状況に合わせて、最適な方法を選択してください。

補足

上記以外にも、ガンマ分布からのランダムサンプルを生成する方法はいくつかあります。
それぞれの方法の詳細は、統計学や確率論の教科書や文献を参照してください。

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