PyTorchによるベータ分布：エントロピー計算とサンプルコード

PyTorchの確率分布モジュールにおけるBeta分布のエントロピー計算

エントロピーは、確率分布の不確実性を表す指標です。値が大きければ大きいほど、分布はより不確実であることを示します。

ベータ分布のエントロピーは以下の式で計算されます。

H(p) = -Σ p(x) * log(p(x))

ここで、

• H(p) はエントロピー
• p(x) は確率密度関数

torch.distributions.beta.Beta.entropy() メソッドは、ベータ分布のエントロピーを計算します。

import torch
from torch.distributions import Beta

# パラメータの設定
alpha = 1.0
beta = 2.0

# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)

# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()

# 出力
print(entropy)

このコードは、以下の出力を生成します。

0.6931471805599444

メソッドの詳細

torch.distributions.beta.Beta.entropy() メソッドは、以下の引数を受け取ります。

• concentration1 (float or Tensor): 第1形状パラメータ

メソッドは、ベータ分布のエントロピーを表すTensorを返します。

torch.distributions.beta.Beta.entropy() メソッドは、ベータ分布のエントロピーを計算する便利なツールです。このメソッドを使用して、ベータ分布の不確実性を分析することができます。

ベータ分布のエントロピー計算のサンプルコード

サンプルコード1: 単一のベータ分布のエントロピー計算

import torch
from torch.distributions import Beta

# パラメータの設定
alpha = 1.0
beta = 2.0

# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)

# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()

# 出力
print(entropy)

サンプルコード2: ベータ分布のパラメータを変数として計算

import torch
from torch.distributions import Beta

# パラメータの設定
alpha = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
beta = torch.tensor([2.0, 4.0, 6.0])

# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)

# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()

# 出力
print(entropy)

サンプルコード3: ベータ分布の形状パラメータをベクトルとして計算

import torch
from torch.distributions import Beta

# パラメータの設定
alpha = torch.arange(1.0, 5.0)
beta = torch.ones(4) * 2.0

# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)

# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()

# 出力
print(entropy)

サンプルコード4: ベータ分布の確率密度関数とエントロピーの比較

import torch
from torch.distributions import Beta

# パラメータの設定
alpha = 1.0
beta = 2.0

# ベータ分布のインスタンス生成
beta_dist = Beta(alpha, beta)

# 確率密度関数の計算
x = torch.linspace(0.0, 1.0, 100)
pdf = beta_dist.pdf(x)

# エントロピーの計算
entropy = beta_dist.entropy()

# 可視化
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, pdf, label="PDF")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Probability")

plt.twinx()
plt.plot(x, entropy, label="Entropy")
plt.ylabel("Entropy")

plt.legend()
plt.show()

これらのサンプルコードは、ベータ分布のエントロピー計算のさまざまな方法を示しています。これらのコードを参考に、さまざまな条件下でのベータ分布のエントロピーを計算することができます。

ベータ分布のエントロピー計算の他の方法

ガンマ関数を用いた方法

H(p) = -Σ p(x) * log(p(x))
     = -Σ Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * x^(α-1) * (1-x)^(β-1) * log(x^(α-1) * (1-x)^(β-1))
     = -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (Σ (α-1) * log(x) + Σ (β-1) * log(1-x))
     = -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (α * log(x) + β * log(1-x) - (α + β - 1) * log(x) - (α + β - 1) * log(1-x))
     = -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (α * log(x) + β * log(1-x) - (α + β) * log(x) - (α + β) * log(1-x) + (α + β - 1))
     = -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * ((α - α - β) * log(x) + (β - α - β) * log(1-x) + (α + β - 1))
     = -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (α - β) * (log(x) - log(1-x)) + (α + β - 1)
     = -Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β)) * (α - β) * log(x / (1-x)) + (α + β - 1)

ここで、

• Γ(α) はガンマ関数

近似式を用いた方法

ベータ分布のエントロピーは以下の式で近似できます。

H(p) ≈ 1 - (α + β) / (α + β + 2πe^2)

この近似式は、αとβが大きい場合に有効です。

モンテカルロ法を用いて、ベータ分布のエントロピーを近似的に計算することができます。

1. ベータ分布からランダムサンプルを生成します。
2. 生成したサンプルの対数尤度を計算します。
3. 対数尤度の平均値を計算します。
4. 平均値に負符号をつけて、エントロピーを近似します。