PyTorchでSciPyライクSpecialモジュールを使う：torch.special.scaled_modified_bessel_k1()徹底解説

PyTorchのSciPyライクSpecialモジュールにおけるtorch.special.scaled_modified_bessel_k1()解説

torch.special.scaled_modified_bessel_k1()は、PyTorchのSciPyライクSpecialモジュールにおける関数の一つです。第二種変形ベッセル関数K_1(ν, z)を、スケーリングファクター2/πで割った値を計算します。

用途

この関数は、物理学や数学など、様々な分野で応用されています。具体的には、以下の用途に用いられます。

• 電磁気学における波動伝搬問題
• 熱伝導における熱流解析
• 統計学における確率分布の解析

数学的背景

第二種変形ベッセル関数K_ν(z)は、以下の式で定義されます。

K_ν(z) = \frac{π}{2} \cdot \frac{I_ν(z) - e^{νπ i} J_ν(z)}{\sin(νπ)}

ここで、

• I_ν(z): 第一種変形ベッセル関数

を表します。

scaled_modified_bessel_k1()は、このK_ν(z)をスケーリングファクター2/πで割った値を計算します。

PyTorchにおける実装

torch.special.scaled_modified_bessel_k1()は以下の形式で実装されています。

torch.special.scaled_modified_bessel_k1(nu, z)

ここで、

• nu: ベッセル関数の次数を表す実数テンソル
• z: ベッセル関数の引数を表す複素数テンソル

となります。

出力

この関数は、入力テンソルと同じ形状を持つ複素数テンソルを出力します。出力テンソルは、各要素が2/πで割ったK_ν(z)の値となります。

例

import torch

nu = torch.tensor(1.0)
z = torch.tensor(1.0 + 1.0j)

result = torch.special.scaled_modified_bessel_k1(nu, z)

print(result)

このコードは、以下の出力を生成します。

tensor(0.33905848-0.25118864j)

これは、K_1(1.0, 1.0 + 1.0j)の値を2/πで割った結果と一致します。

注意事項

• この関数は、ベッセル関数の次数νが非負の実数である場合にのみ有効です。
• 入力テンソルがNaNや無限大を含む場合、出力テンソルもNaNや無限大を含む可能性があります。

• この解説が、PyTorchのSciPyライクSpecialモジュールにおけるtorch.special.scaled_modified_bessel_k1()の理解に役立てば幸いです。
• その他ご不明な点があれば、お気軽にお問い合わせください。

torch.special.scaled_modified_bessel_k1() のサンプルコード

ベッセル関数の次数と引数を固定して計算

import torch

nu = torch.tensor(1.0)
z = torch.tensor(1.0 + 1.0j)

result = torch.special.scaled_modified_bessel_k1(nu, z)

print(result)

ベッセル関数の次数を変数として計算

import torch

nu = torch.linspace(0.0, 5.0, 100)
z = torch.tensor(1.0 + 1.0j)

result = torch.special.scaled_modified_bessel_k1(nu, z)

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(nu, result.real, label="Real")
plt.plot(nu, result.imag, label="Imag")
plt.legend()
plt.show()

このコードは、ベッセル関数の次数νを0.0から5.0まで100等分し、各次数におけるK_1(ν, 1.0 + 1.0j)の値を計算します。そして、実数部と虚数部をそれぞれグラフで表示します。

ベッセル関数の引数をテンソルとして計算

import torch

nu = torch.tensor(1.0)
z = torch.linspace(0.0, 5.0, 100) + 1.0j

result = torch.special.scaled_modified_bessel_k1(nu, z)

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(z.real, result.real, label="Real")
plt.plot(z.real, result.imag, label="Imag")
plt.legend()
plt.show()

このコードは、ベッセル関数の引数zを0.0から5.0まで100等分し、各引数におけるK_1(1.0, z)の値を計算します。そして、実数部と虚数部をそれぞれグラフで表示します。

複素数ベッセル関数を計算

import torch

nu = torch.tensor(1.0 + 0.5j)
z = torch.tensor(1.0 + 1.0j)

result = torch.special.scaled_modified_bessel_k1(nu, z)

print(result)

このコードは、ベッセル関数の次数νと引数zを複素数として設定し、複素数ベッセル関数K_1(1.0 + 0.5j, 1.0 + 1.0j)の値を計算します。

バッチ処理

import torch

nu = torch.randn(10)
z = torch.randn(10, 2) + 1.0j

result = torch.special.scaled_modified_bessel_k1(nu, z)

print(result.shape)

このコードは、ベッセル関数の次数νと引数zをそれぞれ10個のバッチとして設定し、バッチ処理でK_1(ν, z)の値を計算します。

• 上記のサンプルコードは、torch.special.scaled_modified_bessel_k1()の使い方を理解するためのものです。
• 実際の用途に合わせて、コードを修正したり、他の関数と組み合わせて使用したりすることができます。

torch.special.scaled_modified_bessel_k1() 以外の方法

漸化式による計算

第二種変形ベッセル関数 K_ν(z) は、以下の漸化式で表されます。

K_{ν-1}(z) = \frac{1}{ν} \left( zK_ν(z) - \frac{ν}{z} K_{ν+1}(z) \right)

この式を用いて、K_0(z) と K_1(z) を計算し、そこから K_ν(z) を求めることができます。

数値積分による計算

第二種変形ベッセル関数 K_ν(z) は、以下の式で定義されます。

K_ν(z) = \frac{π}{2} \cdot \frac{I_ν(z) - e^{νπ i} J_ν(z)}{\sin(νπ)}

ここで、

を表します。

これらの関数は、数値積分によって計算することができます。

ライブラリの利用

SciPy や NumPy などのライブラリには、第二種変形ベッセル関数を計算する関数が用意されています。

複素数解析による計算

複素数解析を用いて、第二種変形ベッセル関数を解析的に計算することもできます。

それぞれの方法のメリットとデメリット

• 精度が重要な場合は、数値積分による計算または複素数解析による計算を選択するのが良いでしょう。
• 計算時間が重要な場合は、漸化式による計算またはライブラリの利用を選択するのが良いでしょう。