モーメントからガンマ分布の性質を理解: PyTorchによる計算
PyTorchの確率分布モジュールにおけるGamma分布のモードについて
ガンマ分布は、形状パラメータ α
とスケールパラメータ β
を持つ連続確率分布です。形状パラメータは分布の形を決定し、スケールパラメータは分布の広がりを決定します。
ガンマ分布のモードは、以下の式で計算できます。
mode = (α - 1) * β
ここで、
α
は形状パラメータβ
はスケールパラメータ
です。
例
以下の例では、形状パラメータ α=3
とスケールパラメータ β=2
のガンマ分布のモードを計算します。
import torch
from torch.distributions import gamma
# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0
# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)
# モードの計算
mode = gamma_dist.mode
# 結果の出力
print(f"モード: {mode}")
このコードを実行すると、以下の出力が得られます。
モード: tensor([4.])
このように、torch.distributions.gamma.Gamma.mode
属性を用いることで、ガンマ分布のモードを簡単に計算できます。
補足
- ガンマ分布のモードは、常に非負の実数となります。
- 形状パラメータ
α
が 1 以下の場合、モードは存在しません。 - 形状パラメータ
α
が 2 以下の場合、モードは 0 となります。
ガンマ分布のモードに関するサンプルコード
ガンマ分布のモードの計算
import torch
from torch.distributions import gamma
# パラメータの設定
alpha = torch.tensor([3.0, 5.0])
beta = torch.tensor([2.0, 4.0])
# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)
# モードの計算
mode = gamma_dist.mode
# 結果の出力
print(f"モード: {mode}")
ガンマ分布の確率密度関数のプロット
import torch
import matplotlib.pyplot as plt
from torch.distributions import gamma
# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0
# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)
# x軸の範囲の設定
x = torch.linspace(0.0, 10.0, 100)
# 確率密度関数の計算
pdf = gamma_dist.pdf(x)
# グラフの描画
plt.plot(x.numpy(), pdf.numpy())
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("pdf")
plt.show()
このコードは、形状パラメータ α
とスケールパラメータ β
を指定して、ガンマ分布の確率密度関数をプロットします。
ガンマ分布からの乱数の生成
import torch
from torch.distributions import gamma
# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0
# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)
# 乱数の生成
samples = gamma_dist.rsample((100,))
# 結果の出力
print(f"乱数: {samples}")
このコードは、形状パラメータ α
とスケールパラメータ β
を指定して、ガンマ分布から乱数を生成します。
ガンマ分布のモーメント
import torch
from torch.distributions import gamma
# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0
# ガンマ分布の生成
gamma_dist = gamma.Gamma(alpha, beta)
# モーメントの計算
mean = gamma_dist.mean()
variance = gamma_dist.variance()
skewness = gamma_dist.skewness()
kurtosis = gamma_dist.kurtosis()
# 結果の出力
print(f"平均: {mean}")
print(f"分散: {variance}")
print(f
ガンマ分布のモードの計算方法
ガンマ分布の定義
f(x) = \frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^{\alpha}} x^{\alpha - 1} e^{-x/\beta}
ここで、
Γ(α)
はガンマ関数x
は確率変数
です。
ガンマ分布のモードは、確率密度関数の最大値となる値です。確率密度関数の対数を取って微分し、0 となる解を求めることで、モードを導出できます。
\frac{d}{dx} \log f(x) = \frac{d}{dx} \left[ \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta + (\alpha - 1) \log x - \frac{x}{\beta} \right] = 0
この式を解くと、以下の式が得られます。
x = (\alpha - 1) \beta
その他の方法
ガンマ分布のモードは、以下の方法でも計算できます。
-
数値計算
確率密度関数を数値的に計算し、最大値となる値を探す方法です。
-
近似式
形状パラメータ
α
が大きい場合、以下の近似式を用いることができます。
mode \approx \alpha \beta - \frac{1}{2}
ガンマ分布のモードは、形状パラメータ α
とスケールパラメータ β
を用いて、以下の式で計算できます。
mode = (\alpha - 1) \beta
この式は、確率密度関数の最大値となる値を導出したものです。
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