PyTorchのLinear Algebraにおけるtorch.linalg.lu_solveのチュートリアル
PyTorchのLinear Algebraにおけるtorch.linalg.lu_solveの解説
torch.linalg.lu_solve
は、PyTorchのLinear AlgebraモジュールにおけるLU分解を用いた線形方程式解法のための関数です。LU分解によって行列をLとUという下三角行列と上三角行列に分解することで、効率的に線形方程式を解くことができます。
torch.linalg.lu_solve
は以下の引数を受け取ります。
LU
: LU分解された行列b
: 右辺ベクトルtrans
: 転置フラグ (デフォルトはFalse)pivots
: ピボットベクトル (デフォルトはNone)
LU
はtorch.linalg.lu
関数によって得られます。b
は解きたい線形方程式の右辺ベクトルです。trans
はLU
行列を転置するかどうかを指定します。pivots
はLU分解の際に使用されたピボットベクトルです。
torch.linalg.lu_solve
は以下の式に基づいて線形方程式を解きます。
x = P * L^-1 * U^-1 * b
ここで、
P
: ピボット行列L
: 下三角行列U
: 上三角行列x
: 解ベクトル
例
以下の例は、torch.linalg.lu_solve
を使用して線形方程式を解く方法を示しています。
import torch
# 行列Aと右辺ベクトルbを定義
A = torch.tensor([[2, 1], [4, 3]])
b = torch.tensor([1, 2])
# LU分解
LU, pivots = torch.linalg.lu(A)
# LU分解と右辺ベクトルを用いて線形方程式を解く
x = torch.linalg.lu_solve(LU, b, pivots=pivots)
# 解ベクトルを出力
print(x)
この例では、x
は[0.5, 0.33333333]
となります。
補足
torch.linalg.lu_solve
は、LU分解以外にもQR分解やCholesky分解などの方法を用いて線形方程式を解くこともできます。torch.linalg.lu_solve
は、GPU上で実行することもできます。
PyTorchのLinear Algebraにおけるtorch.linalg.lu_solveのサンプルコード
import torch
# 行列Aと右辺ベクトルbを定義
A = torch.tensor([[2, 1], [4, 3]])
b = torch.tensor([1, 2])
# LU分解
LU, pivots = torch.linalg.lu(A)
# LU分解と右辺ベクトルを用いて線形方程式を解く
x = torch.linalg.lu_solve(LU, b, pivots=pivots)
# 解ベクトルを出力
print(x)
逆行列の計算
import torch
# 行列Aを定義
A = torch.tensor([[2, 1], [4, 3]])
# LU分解
LU, pivots = torch.linalg.lu(A)
# LU分解を用いて逆行列を計算
inv_A = torch.linalg.lu_solve(LU, torch.eye(2), pivots=pivots)
# 逆行列を出力
print(inv_A)
線形代数方程式の解法
import torch
# 行列Aと右辺ベクトルbを定義
A = torch.tensor([[2, 1], [4, 3]])
b = torch.tensor([1, 2])
# LU分解
LU, pivots = torch.linalg.lu(A)
# LU分解と右辺ベクトルを用いて線形代数方程式を解く
x = torch.linalg.lu_solve(LU, b, pivots=pivots)
# 解ベクトルを出力
print(x)
特異値分解
import torch
# 行列Aを定義
A = torch.tensor([[2, 1], [4, 3]])
# LU分解
LU, pivots = torch.linalg.lu(A)
# LU分解を用いて特異値分解を計算
S, U, V = torch.linalg.svd(LU, pivots=pivots)
# 特異値、左特異ベクトル、右特異ベクトルを出力
print(S)
print(U)
print(V)
QR分解
import torch
# 行列Aを定義
A = torch.tensor([[2, 1], [4, 3]])
# QR分解
Q, R = torch.linalg.qr(A)
# QとRを出力
print(Q)
print(R)
Cholesky分解
import torch
# 行列Aを定義
A = torch.tensor([[2, 1], [1, 2]])
# Cholesky分解
L = torch.linalg.cholesky(A)
# Lを出力
print(L)
これらのサンプルコードは、torch.linalg.lu_solve
関数のさまざまな使用方法を示しています。これらのコードを参考に、さまざまな線形代数問題を解くことができます。
LU分解を用いた線形方程式の解法の他の方法
ガウスの消去法は、LU分解を用いた線形方程式の解法の最も基本的な方法です。この方法は、行列の行基本変形を用いて、行列を上三角行列に変換し、その後、逆代入によって解を求めます。
ドゥーリトル法は、LU分解を用いた線形方程式の解法のもう一つの基本的な方法です。この方法は、ガウスの消去法と同様に、行列の行基本変形を用いて、行列を上三角行列に変換し、その後、逆代入によって解を求めます。
クルスカール法は、LU分解を用いた線形方程式の解法の効率的な方法です。この方法は、LU分解を効率的に計算する方法を用いて、線形方程式を解きます。
スパース行列のLU分解
スパース行列は、多くの要素が0である行列です。スパース行列のLU分解は、スパース行列の構造を利用して、効率的に計算する方法があります。
これらの方法は、それぞれ異なる利点と欠点があります。どの方法を使用するかは、問題の規模や構造によって異なります。
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