豊富なサンプルコードで理解を深める！PyTorchでtorch.trapezoidを使った数値積分の実装例

PyTorchで台形則の積分を実装する：torch.trapezoid解説

PyTorchは、Pythonで深層学習を行うためのオープンソースライブラリです。その豊富な機能の一つに、「torch.trapezoid」と呼ばれる関数があります。これは、台形則を用いて数値積分を行うための関数です。

台形則とは？

台形則は、数値積分において最も基本的な方法の一つです。区間[a, b]における関数の積分値を、区間の両端での関数値と台形の面積を用いて近似する方法です。

torch.trapezoidは、以下の引数を受け取ります。

• y: 積分したい関数の値を表すTensor
• x: 積分範囲を表すTensor
• dim: 積分を行う軸
• weight: 各台形の重みを表すTensor (オプション)

具体的な例を交えて、torch.trapezoidの使い方を解説します。

例1: 単純な台形則

import torch

def f(x):
  return x**2

x = torch.linspace(0, 1, 10)
y = f(x)

# 単純な台形則による積分
integral = torch.trapezoid(y, x)

print(integral)

この例では、f(x) = x^2という関数を区間[0, 1]で積分しています。torch.trapezoidを用いることで、積分値は約0.3333333333333333となります。

例2: 重み付き台形則

# 各台形の重みを定義
weights = torch.ones(10)

# 重み付き台形則による積分
integral = torch.trapezoid(y, x, weight=weights)

print(integral)

この例では、各台形に等しい重みを設定しています。

応用例

torch.trapezoidは、様々な場面で応用できます。例えば、以下のことができます。

• 曲線下面積の計算
• 物理シミュレーション
• 機械学習

torch.trapezoidは、PyTorchで簡単に台形則による数値積分を行うための関数です。使い方を理解すれば、様々な場面で応用できます。

さまざまなサンプルコード

定積分

import torch

def f(x):
  return x**2

# 区間 [0, 1] での定積分
a = 0
b = 1
n = 100

# 積分範囲を分割
x = torch.linspace(a, b, n)

# 被積分関数の値を計算
y = f(x)

# 台形則による積分
integral = torch.trapezoid(y, x)

print(f"積分値: {integral}")

重み付き台形則

import torch

def f(x):
  return x**2

# 区間 [0, 1] での定積分
a = 0
b = 1
n = 100

# 積分範囲を分割
x = torch.linspace(a, b, n)

# 被積分関数の値を計算
y = f(x)

# 各台形の重みを定義
weights = torch.ones(n)

# 重み付き台形則による積分
integral = torch.trapezoid(y, x, weight=weights)

print(f"積分値: {integral}")

不定積分

import torch

def f(x):
  return x**2

# 初期値
a = 0

# 積分範囲
x = torch.linspace(a, 1, 100)

# 被積分関数の値を計算
y = f(x)

# 台形則による不定積分
integral = torch.cumsum(y, dim=0) * (x[1] - x[0])

print(f"不定積分: {integral}")

高次元積分

import torch

def f(x, y):
  return x**2 * y

# 区間 [0, 1] x [0, 1] での2次元積分
a = 0
b = 1
n = 100

# 積分範囲を分割
x = torch.linspace(a, b, n)
y = torch.linspace(a, b, n)

# 被積分関数の値を計算
z = f(x.unsqueeze(1), y.unsqueeze(0))

# 台形則による2次元積分
integral = torch.trapezoid(torch.trapezoid(z, x, dim=0), y, dim=0)

print(f"積分値: {integral}")

応用例

• 曲線下面積の計算
• 物理シミュレーション
• 機械学習

台形則以外の数値積分方法

シンプソン則は、台形則よりも高い精度で積分値を計算できる方法です。台形則が各区間の両端での関数値のみを使用するのに対し、シンプソン則は各区間の真ん中の関数値も使用します。

ガウス求積法は、台形則やシンプソン則よりもさらに高い精度で積分値を計算できる方法です。積分範囲を複数の部分に分割し、各部分でガウス点と呼ばれる特殊な点を用いて積分を行います。

モンテカルロ法は、ランダムな点の集合を用いて積分値を計算する方法です。積分範囲内にランダムな点を生成し、その点の密度から積分値を推定します。

その他の方法

上記以外にも、様々な数値積分方法があります。それぞれの特徴を理解し、目的に合った方法を選択することが重要です。

PyTorchで他の数値積分方法を実装する

PyTorchには、torch.trapz以外にも様々な数値積分関数が用意されています。以下に、代表的な関数を紹介します。

• torch.simpson: シンプソン則による積分
• torch.quad: ガウス求積法による積分
• torch.mc.sample: モンテカルロ法による積分

これらの関数は、torch.trapezoidと同様に使用できます。

台形則は、数値積分を行うための基本的な方法の一つです。しかし、より高い精度を求める場合は、他の方法も検討する必要があります。PyTorchには、様々な数値積分関数が用意されているので、目的に合った方法を選択してください。