PyTorchのProbability Distributionsにおけるtorch.distributions.gumbel.Gumbel.entropy()の解説

PyTorchのProbability Distributionsにおけるtorch.distributions.gumbel.Gumbel.entropy()解説

torch.distributions.gumbel.Gumbel.entropy()は、Gumbel分布のエントロピーを計算する関数です。エントロピーは、確率分布の不確実性を表す指標です。つまり、この関数は、Gumbel分布からランダムに生成された値がどれほど予測不可能であるかを教えてくれます。

Gumbel分布は、極値理論でよく用いられる連続確率分布です。形状パラメータ loc と尺度パラメータ scale を持つGumbel分布の確率密度関数は以下の式で表されます。

p(x) = exp(-(x - loc) / scale) * exp(-exp(-(x - loc) / scale))

エントロピーは、確率分布の不確実性を表す指標です。エントロピーが高いほど、分布はより不確実で、ランダムに生成された値を予測することが難しくなります。

torch.distributions.gumbel.Gumbel.entropy()は以下の引数を受け取ります。

• loc: 形状パラメータ
• scale: 尺度パラメータ

関数は、Gumbel分布のエントロピーを計算し、torch.Tensor型で返します。

例

import torch
from torch.distributions import gumbel

# パラメータの設定
loc = 0.0
scale = 1.0

# Gumbel分布の生成
gumbel_dist = gumbel.Gumbel(loc, scale)

# エントロピーの計算
entropy = gumbel_dist.entropy()

# 出力
print(entropy)

このコードは、形状パラメータ loc=0.0 と尺度パラメータ scale=1.0 のGumbel分布のエントロピーを計算し、出力します。

補足

• torch.distributions.gumbel.Gumbel.entropy()は、PyTorch 1.7以降で使用できます。
• エントロピーは、単位情報量と呼ばれることもあります。

• 本解説は、理解を深めるために簡略化されています。詳細は、上記の参考資料を参照してください。
• ご質問やご不明な点がありましたら、お気軽にお問い合わせください。

Gumbel分布のエントロピー計算のサンプルコード

import torch
from torch.distributions import gumbel

# パラメータの設定
loc = 0.0
scale = 1.0

# Gumbel分布の生成
gumbel_dist = gumbel.Gumbel(loc, scale)

# エントロピーの計算
entropy = gumbel_dist.entropy()

# 出力
print(entropy)

パラメータを変数としてエントロピーを計算

import torch

# パラメータの範囲の設定
loc_range = torch.linspace(-1.0, 1.0, 10)
scale_range = torch.linspace(0.1, 10.0, 10)

# エントロピーの計算
entropies = torch.zeros(len(loc_range), len(scale_range))
for i, loc in enumerate(loc_range):
  for j, scale in enumerate(scale_range):
    gumbel_dist = gumbel.Gumbel(loc, scale)
    entropies[i, j] = gumbel_dist.entropy()

# 出力
print(entropies)

エントロピーのグラフを描画

import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータの範囲の設定
loc_range = torch.linspace(-1.0, 1.0, 10)
scale_range = torch.linspace(0.1, 10.0, 10)

# エントロピーの計算
entropies = torch.zeros(len(loc_range), len(scale_range))
for i, loc in enumerate(loc_range):
  for j, scale in enumerate(scale_range):
    gumbel_dist = gumbel.Gumbel(loc, scale)
    entropies[i, j] = gumbel_dist.entropy()

# グラフの描画
plt.contourf(loc_range, scale_range, entropies)
plt.xlabel("loc")
plt.ylabel("scale")
plt.colorbar()
plt.show()

エントロピーの最大値と最小値を求める

import torch
from torch.distributions import gumbel

# パラメータの範囲の設定
loc_range = torch.linspace(-1.0, 1.0, 100)
scale_range = torch.linspace(0.1, 10.0, 100)

# エントロピーの計算
entropies = torch.zeros(len(loc_range), len(scale_range))
for i, loc in enumerate(loc_range):
  for j, scale in enumerate(scale_range):
    gumbel_dist = gumbel.Gumbel(loc, scale)
    entropies[i, j] = gumbel_dist.entropy()

# 最大値と最小値の取得
max_entropy = entropies.max()
min_entropy = entropies.min()

# 出力
print(f"最大エントロピー: {max_entropy}")
print(f"最小エントロピー: {min_entropy}")

Gumbel分布のエントロピー計算の他の方法

数式による計算

Gumbel分布のエントロピーは以下の式で計算できます。

H(p) = -∫ p(x) * log(p(x)) dx

ここで、p(x)はGumbel分布の確率密度関数です。この式を数値積分によって計算することができます。

サンプリングによる推定

Gumbel分布からランダムサンプルを生成し、そのサンプルに基づいてエントロピーを推定することができます。

ベイズ推論による計算

Gumbel分布の形状パラメータと尺度パラメータをベイズ推論によって推定し、推定結果に基づいてエントロピーを計算することができます。

これらの方法は、それぞれメリットとデメリットがあります。

数式による計算

• メリット: 精度の高い計算が可能
• デメリット: 計算コストが高い

サンプリングによる推定

• デメリット: 精度が低い

ベイズ推論による計算

• メリット: 精度と計算コストのバランスが良い
• デメリット: 複雑な計算が必要

具体的な例

数式による計算

以下のコードは、scipyライブラリを使ってGumbel分布のエントロピーを数値積分によって計算します。

import scipy.integrate

# パラメータの設定
loc = 0.0
scale = 1.0

# 確率密度関数
def gumbel_pdf(x):
  return np.exp(-(x - loc) / scale) * np.exp(-np.exp(-(x - loc) / scale))

# エントロピーの計算
entropy = -scipy.integrate.quad(gumbel_pdf, -np.inf, np.inf)[0]

# 出力
print(entropy)

サンプリングによる推定

以下のコードは、Gumbel分布からランダムサンプルを生成し、そのサンプルに基づいてエントロピーを推定します。

import numpy as np

# パラメータの設定
loc = 0.0
scale = 1.0

# サンプルの生成
samples = gumbel.rvs(loc, scale, size=1000)

# エントロピーの推定
entropy = -np.mean(np.log(samples))

# 出力
print(entropy)

ベイズ推論による計算

以下のコードは、PyMC3ライブラリを使ってGumbel分布の形状パラメータと尺度パラメータを推定し、推定結果に基づいてエントロピーを計算します。

import pymc3 as pm

# パラメータの設定
loc = 0.0
scale = 1.0

# データの生成
data = gumbel.rvs(loc, scale, size=1000)

# モデルの設定
with pm.Model() as model:
  # 形状パラメータ
  loc_prior = pm.Uniform("loc_prior", -1.0, 1.0)
  loc = pm.Uniform("loc", -1.0, 1.0)

  # 尺度パラメータ
  scale_prior = pm.Uniform("scale_prior", 0.1, 10.0)
  scale = pm.Uniform("scale", 0.1, 10.0)

  # 尤度
  likelihood = pm.Gumbel("likelihood", data, loc=loc, scale=scale)

  # サンプリング
  trace = pm.sample()

# エントロピーの推定
entropy = -np.mean(np.log(trace["likelihood"]))

# 出力
print(entropy)

Gumbel分布のエントロピーを計算する方法