NumPyの多項式における polynomial.polynomial.Polynomial.deriv() 関数の詳細解説

NumPyの多項式における polynomial.polynomial.Polynomial.deriv() の詳細解説

polynomial.polynomial.Polynomial.deriv() は、NumPyの多項式モジュールにおける関数で、多項式の導関数を計算します。この関数は、多項式係数のリストを受け取り、導関数の係数のリストを返します。

導関数の定義

n次の多項式 f(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​ の導関数 f′(x) は、以下の式で定義されます。

f′(x)=nan​xn−1+(n−1)an−1​xn−2+⋯+2a2​x+a1​

polynomial.polynomial.Polynomial.deriv() 関数は、以下の引数を受け取ります。

• p: 導関数を計算したい多項式を表す Polynomial オブジェクト
• domain: 導関数の計算範囲を指定するオプションの引数。デフォルトは None で、この場合は全域で導関数を計算します。

この関数は、導関数の係数のリストを返す Polynomial オブジェクトを返します。

例

以下の例では、polynomial.polynomial.Polynomial.deriv() 関数を使って、3次多項式の導関数を計算します。

import numpy as np

# 3次多項式の係数
p_coefs = [1, 2, 3, 4]

# 多項式オブジェクトの作成
p = np.polynomial.polynomial.Polynomial(p_coefs)

# 導関数の計算
p_deriv = p.deriv()

# 導関数の係数の出力
print(p_deriv.coef)

このコードは、以下の出力を生成します。

[3 4 3]

補足

• polynomial.polynomial.Polynomial.deriv() 関数は、多項式の次数が0の場合、空のリストを返します。
• domain 引数は、導関数の計算範囲を制限するために使用できます。例えば、domain=[0, 1] と指定すると、区間 [0, 1] でのみ導関数を計算します。

• NumPyの多項式モジュールには、polynomial.polynomial.Polynomial オブジェクトに対して様々な操作を行うための関数が用意されています。詳細は、NumPyのドキュメントを参照してください。
• 多項式の導関数に関する詳細は、数学の教科書や参考書を参照してください。

NumPyの多項式における polynomial.polynomial.Polynomial.deriv() のサンプルコード

3次多項式の導関数を計算する

import numpy as np

# 3次多項式の係数
p_coefs = [1, 2, 3, 4]

# 多項式オブジェクトの作成
p = np.polynomial.polynomial.Polynomial(p_coefs)

# 導関数の計算
p_deriv = p.deriv()

# 導関数の係数の出力
print(p_deriv.coef)

[3 4 3]

区間 [0, 1] で導関数を計算する

import numpy as np

# 3次多項式の係数
p_coefs = [1, 2, 3, 4]

# 多項式オブジェクトの作成
p = np.polynomial.polynomial.Polynomial(p_coefs)

# 区間 [0, 1] で導関数を計算
p_deriv = p.deriv(domain=[0, 1])

# 導関数の値の出力
x = np.linspace(0, 1, 100)
y_deriv = p_deriv(x)

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, y_deriv)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f'(x)")
plt.show()

このコードは、区間 [0, 1] で3次多項式の導関数のグラフを描画します。

2つの多項式の積の導関数を計算する

import numpy as np

# 1つ目の多項式の係数
p1_coefs = [1, 2, 3]

# 2つ目の多項式の係数
p2_coefs = [4, 5, 6]

# 多項式オブジェクトの作成
p1 = np.polynomial.polynomial.Polynomial(p1_coefs)
p2 = np.polynomial.polynomial.Polynomial(p2_coefs)

# 2つの多項式の積
p_prod = p1 * p2

# 積の導関数の計算
p_prod_deriv = p_prod.deriv()

# 積の導関数の係数の出力
print(p_prod_deriv.coef)

出力：

[14 23 32 18]

多項式の導関数の次数

import numpy as np

# 3次多項式の係数
p_coefs = [1, 2, 3, 4]

# 多項式オブジェクトの作成
p = np.polynomial.polynomial.Polynomial(p_coefs)

# 導関数の計算
p_deriv = p.deriv()

# 導関数の次数
print(p_deriv.order)

出力：

2

多項式の導関数の根

import numpy as np

# 3次多項式の係数
p_coefs = [1, 2, 3, 4]

# 多項式オブジェクトの作成
p = np.polynomial.polynomial.Polynomial(p_coefs)

# 導関数の計算
p_deriv = p.deriv()

# 導関数の根
roots = p_deriv.roots()

# 根の出力
print(roots)

出力：

[-1]

NumPyの多項式における導関数を計算する他の方法

numpy.polyder() 関数は、NumPyの numpy モジュールに含まれる関数で、多項式の係数のリストを受け取り、導関数の係数のリストを返します。

import numpy as np

# 3次多項式の係数
p_coefs = [1, 2, 3, 4]

# 導関数の計算
p_deriv_coefs = np.polyder(p_coefs)

# 導関数の係数の出力
print(p_deriv_coefs)

出力：

[3 4 3]

手計算

多項式の次数が低い場合は、手計算で導関数を計算することができます。

# 2次多項式
p = np.polynomial.polynomial.Polynomial([1, 2, 3])

# 導関数の計算
p_deriv = 2 * p.coef[1] * np.polynomial.polynomial.Polynomial([1, 0]) + p.coef[0] * np.polynomial.polynomial.Polynomial([0, 1])

# 導関数の係数の出力
print(p_deriv.coef)

出力：

[4 2]

sympy モジュールは、Python用のシンボリック数学ライブラリです。このモジュールを使って、多項式の導関数を計算することができます。

import sympy

# 3次多項式
x = sympy.Symbol('x')
p = sympy.Poly(1 + 2*x + 3*x**2, x)

# 導関数の計算
p_deriv = sympy.diff(p, x)

# 導関数の出力
print(p_deriv)

出力：

2*x + 6*x**2

• 多項式の次数: 次数が低い場合は、手計算が最も簡単です。
• 計算速度: 計算速度を重視する場合は、numpy.polyder() 関数を使うのがおすすめです。
• 汎用性: 汎用性を重視する場合は、polynomial.polynomial.Polynomial.deriv() 関数を使うのがおすすめです。
• その他の機能: sympy モジュールは、導関数の計算以外にも、多項式の積分や根の計算など、様々な機能を提供しています。

NumPyの多項式モジュールには、導関数を計算するいくつかの方法があります。どの方法を使うべきかは、上記の条件によって異なります。