PyTorchのHalfCauchy分布を徹底解説!
PyTorchのProbability Distributionsにおけるtorch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy.arg_constraints解説
torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy.arg_constraints
は、HalfCauchy
分布の確率密度関数を定義する際に用いられる制約条件です。この制約条件は、分布のパラメータであるscale
に適用されます。
詳細
HalfCauchy
分布は、以下の確率密度関数で定義されます。
p(x) = 2 / (pi * scale) * sqrt(1 / (1 + (x / scale)^2))
ここで、scale
は分布の形状パラメータです。scale
が大きくなるにつれて、分布はより平坦になります。
arg_constraints
は、scale
パラメータの許容範囲を定義します。具体的には、以下の式で表現されます。
scale > 0
つまり、scale
パラメータは0より大きい必要があります。
例
以下の例は、HalfCauchy
分布の確率密度関数を可視化し、arg_constraints
によってscale
パラメータがどのように制限されるかを示しています。
import torch
import matplotlib.pyplot as plt
# パラメータの設定
scale = torch.linspace(0.1, 10, 100)
# 確率密度関数の計算
pdf = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(torch.linspace(-10, 10, 100))
# 可視化
plt.plot(scale.numpy(), pdf.numpy())
plt.xlabel("scale")
plt.ylabel("log_prob")
plt.show()
この例では、scale
パラメータが0.1から10までの範囲で変化させられています。scale
パラメータが小さくなると、分布はより尖った形状になります。
torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy.arg_constraints
は、HalfCauchy
分布の確率密度関数を定義する際に用いられる制約条件です。この制約条件は、scale
パラメータが0より大きいことを保証します。
PyTorchのHalfCauchy分布を使ったサンプルコード
確率密度関数の可視化
import torch
import matplotlib.pyplot as plt
# パラメータの設定
scale = torch.linspace(0.1, 10, 100)
# 確率密度関数の計算
pdf = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(torch.linspace(-10, 10, 100))
# 可視化
plt.plot(scale.numpy(), pdf.numpy())
plt.xlabel("scale")
plt.ylabel("log_prob")
plt.show()
乱数の生成
import torch
# パラメータの設定
scale = torch.tensor(1.0)
# 乱数の生成
dist = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale)
x = dist.rsample((100,))
# 結果の確認
print(x)
このコードは、scale
パラメータが1.0に設定されたHalfCauchy
分布から100個の乱数を生成します。
モンテカルロ積分
import torch
# パラメータの設定
scale = torch.tensor(1.0)
# 被積分関数の定義
def f(x):
return torch.exp(-x**2)
# モンテカルロ積分の計算
dist = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale)
num_samples = 10000
x = dist.rsample((num_samples,))
integral = torch.mean(f(x))
# 結果の確認
print(integral)
このコードは、HalfCauchy
分布からモンテカルロ法で定積分を計算します。
ベイズ推論
import torch
# 事前分布の設定
scale_prior = torch.distributions.uniform.Uniform(torch.tensor(0.0), torch.tensor(10.0))
# 観測データの設定
data = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
# 尤度関数の定義
def likelihood(scale, data):
return torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(data)
# 事後分布の計算
posterior = torch.distributions.posterior.Posterior(scale_prior, likelihood, data)
# 事後分布からのサンプリング
scale_samples = posterior.rsample((1000,))
# 結果の確認
print(scale_samples)
このコードは、HalfCauchy
分布を用いたベイズ推論の例です。
上記のサンプルコード以外にも、HalfCauchy
分布はさまざまな場面で利用できます。
- シミュレーション
- 機械学習
- 統計モデリング
PyTorchのHalfCauchy分布を使うその他の方法
パラメータ推定
最尤法は、観測データに基づいて、尤度関数が最大となるパラメータ推定値を求める方法です。
import torch
# 観測データの設定
data = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
# 尤度関数の定義
def likelihood(scale, data):
return torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(data)
# 最適化アルゴリズムの設定
optimizer = torch.optim.Adam([scale], lr=0.01)
# 最尤推定値の計算
for epoch in range(1000):
optimizer.zero_grad()
loss = -likelihood(scale, data)
loss.backward()
optimizer.step()
# 結果の確認
print(scale)
このコードは、最尤法を用いてHalfCauchy
分布のパラメータ推定値を計算します。
ベイズ推論は、事前分布と尤度関数に基づいて、事後分布を計算する方法です。
import torch
# 事前分布の設定
scale_prior = torch.distributions.uniform.Uniform(torch.tensor(0.0), torch.tensor(10.0))
# 観測データの設定
data = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
# 尤度関数の定義
def likelihood(scale, data):
return torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(data)
# 事後分布の計算
posterior = torch.distributions.posterior.Posterior(scale_prior, likelihood, data)
# 事後分布からのサンプリング
scale_samples = posterior.rsample((1000,))
# 結果の確認
print(scale_samples)
このコードは、ベイズ推論を用いてHalfCauchy
分布のパラメータ推定値を計算します。
統計的検定
HalfCauchy
分布を用いて、仮説検定を行うこともできます。
例
ある母集団の平均値がμ
であるという仮説を検定したい場合、以下の手順で仮説検定を行うことができます。
-
帰無仮説と対立仮説を設定します。
- 帰無仮説:
μ = μ0
- 対立仮説:
μ ≠ μ0
- 帰無仮説:
-
検定統計量を選択します。
- この場合、検定統計量として
t
統計量を使用できます。
- この場合、検定統計量として
-
棄却域を決定します。
- 棄却域は、有意水準に基づいて決定します。
-
観測データに基づいて、検定統計量を計算します。
-
p値を計算します。
-
p値が有意水準よりも小さい場合、帰無仮説を棄却します。
import torch
# 観測データの設定
data = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
# 仮説の設定
mu0 = 1.5
# 検定統計量の計算
t_stat = (data.mean() - mu0) / (data.std() / torch.sqrt(torch.tensor(len(data))))
# p値の計算
p_value = 2 * torch.distributions.t.cdf(-t_stat, df=len(data)-1)
# 結果の確認
print(t_stat, p_value)
このコードは、t
検定を用いてHalfCauchy
分布の平均値に関する仮説検定を行います。
シミュレーション
HalfCauchy
分布を用いて、さまざまなシミュレーションを行うことができます。
例
- 自然現象のシミュレーション
- 金融市場のシミュレーション
- 機械学習モデルのシミュレーション
import torch
# パラメータの設定
scale = torch.tensor(1.0)
# シミュレーションデータの生成
x = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).rsample((1000,))
# 結果の確認
print(x)
このコードは、HalfCauchy
分布から1
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