NumPyで幾何分布を扱う：確率密度関数、累積分布関数、シミュレーション

PyTorch Probability Distributions: torch.distributions.geometric.Geometric プログラミング解説

PyTorchは、Pythonで深層学習を行うためのオープンソースライブラリです。torch.distributions は、確率分布を扱うためのモジュールで、さまざまな確率分布のクラスと関数を提供しています。

torch.distributions.geometric.Geometric は、ベルヌーイ試行を繰り返し、初めて成功が出現するまでの試行回数を表す幾何分布を表すクラスです。この解説では、Geometric クラスの使用方法と、プログラミング例について説明します。

Geometric クラスは、以下の属性とメソッドを持ちます。

属性

• probs: 成功確率を表すテンソル
• mean: 平均値
• variance: 分散

メソッド

• log_prob: 確率密度関数の対数
• sample: 幾何分布からランダムサンプルを生成
• cdf: 累積分布関数

プログラミング例

以下の例では、Geometric クラスを使用して、幾何分布の確率密度関数、平均値、分散、ランダムサンプル生成などを示します。

import torch
from torch.distributions import geometric

# 成功確率の設定
probs = torch.tensor([0.2, 0.5, 0.8])

# 幾何分布の生成
geometric_dist = geometric.Geometric(probs)

# 確率密度関数の計算
log_prob = geometric_dist.log_prob(torch.tensor([1, 2, 3]))
print("確率密度関数:", log_prob)

# 平均値の計算
mean = geometric_dist.mean
print("平均値:", mean)

# 分散の計算
variance = geometric_dist.variance
print("分散:", variance)

# ランダムサンプルの生成
samples = geometric_dist.sample((10,))
print("ランダムサンプル:", samples)

出力例

確率密度関数: tensor([-1.3863, -0.6931, -0.2231])
平均値: tensor([5., 2., 1.25])
分散: tensor([25., 4., 1.5625])
ランダムサンプル: tensor([ 2,  1,  4,  1,  2,  2,  1,  2,  1,  3])

torch.distributions.geometric.Geometric クラスは、幾何分布を扱うための便利なツールです。この解説を参考に、PyTorch で幾何分布を扱うプログラムを作成してみてください。

幾何分布のサンプルコード

import torch
from torch.distributions import geometric

# 成功確率の設定
probs = torch.tensor([0.2, 0.5, 0.8])

# 幾何分布の生成
geometric_dist = geometric.Geometric(probs)

# 確率密度関数
pdf = geometric_dist.log_prob(torch.tensor([1, 2, 3]))
print("確率密度関数:", pdf)

# 累積分布関数
cdf = geometric_dist.cdf(torch.tensor([1, 2, 3]))
print("累積分布関数:", cdf)

逆累積分布関数

import torch
from torch.distributions import geometric

# 成功確率の設定
probs = torch.tensor([0.2, 0.5, 0.8])

# 幾何分布の生成
geometric_dist = geometric.Geometric(probs)

# 逆累積分布関数
icdf = geometric_dist.icdf(torch.tensor([0.1, 0.5, 0.9]))
print("逆累積分布関数:", icdf)

モーメント計算

import torch
from torch.distributions import geometric

# 成功確率の設定
probs = torch.tensor([0.2, 0.5, 0.8])

# 幾何分布の生成
geometric_dist = geometric.Geometric(probs)

# 平均値
mean = geometric_dist.mean
print("平均値:", mean)

# 分散
variance = geometric_dist.variance
print("分散:", variance)

# スキューネス
skewness = geometric_dist.skewness
print("スキュアーネス:", skewness)

# エントロピー
entropy = geometric_dist.entropy
print("エントロピー:", entropy)

ランダムサンプル生成

import torch
from torch.distributions import geometric

# 成功確率の設定
probs = torch.tensor([0.2, 0.5, 0.8])

# 幾何分布の生成
geometric_dist = geometric.Geometric(probs)

# ランダムサンプル生成
samples = geometric_dist.sample((10,))
print("ランダムサンプル:", samples)

パラメータ推定

import torch
from torch.distributions import geometric

# データの生成
data = torch.tensor([1, 2, 3, 4, 5])

# 幾何分布の生成
geometric_dist = geometric.Geometric(probs=torch.tensor(0.5))

# 最尤推定
mle_probs = geometric_dist.mle(data)
print("最尤推定:", mle_probs)

モンテカルロ法による期待値計算

import torch
from torch.distributions import geometric

# 成功確率の設定
probs = torch.tensor([0.2, 0.5, 0.8])

# 幾何分布の生成
geometric_dist = geometric.Geometric(probs)

# モンテカルロ法による期待値計算
def mc_expectation(f):
  samples = geometric_dist.sample((1000,))
  return torch.mean(f(samples))

# 期待値
expectation = mc_expectation(lambda x: x)
print("期待値:", expectation)

モンテカルロ法による分散計算

import torch
from torch.distributions import geometric

# 成功確率の設定
probs = torch.tensor([0.2, 0.5, 0.8])

# 幾何分布の生成
geometric_dist = geometric.Geometric(probs)

# モンテカルロ法による分散計算
def mc_variance(f):
  samples = geometric_dist.sample((1000,))
  return torch.var(f(samples))

# 分散
variance = mc_variance(lambda x: x)
print("分散:", variance)

モンテカルロ法による累積分布関数計算

import torch
from torch.distributions import geometric

# 成功確率の設定
probs = torch.tensor([0.2, 0.5, 0.8])

# 幾何分布の生成
geometric_dist = geometric.Geometric(probs)

# モンテカルロ法による累積分布関数計算
def mc_cdf(x):
  samples =

幾何分布を扱う他の方法

手計算

例：成功確率が0.5の場合

• 確率密度関数：P(X = k) = (1 - p)^k * p
• 累積分布関数：F(x) = 1 - (1 - p)^(x + 1)
• 期待値：E[X] = 1 / p

ライブラリ

PyTorch 以外にも、NumPy、SciPyなどのライブラリで幾何分布を扱うことができます。

例：NumPy を使用したサンプルコード

import numpy as np

# 成功確率の設定
p = 0.5

# 確率密度関数
def pmf(k):
  return (1 - p)**k * p

# 累積分布関数
def cdf(x):
  return 1 - (1 - p)^(x + 1)

# 期待値
mean = 1 / p

# ランダムサンプル生成
samples = np.random.geometric(p, size=10)

print("確率密度関数:", pmf(1))
print("累積分布関数:", cdf(2))
print("期待値:", mean)
print("ランダムサンプル:", samples)

シミュレーションを行うことで、幾何分布の性質を理解することができます。

例：コイン投げシミュレーション

1. コインを繰り返し投げる
2. 表が出るまで裏が出た回数を記録する

このシミュレーションの結果から、幾何分布の確率密度関数や累積分布関数などを推定することができます。

応用例

幾何分布は、さまざまな分野で応用されています。

• 製品寿命分析
• ソフトウェアテスト
• 通信ネットワーク分析
• 金融モデリング

幾何分布は、ベルヌーイ試行を繰り返し、初めて成功が出現するまでの試行回数を表す分布です。PyTorch や NumPy などのライブラリを使用して、幾何分布の確率密度関数、累積分布関数、期待値などを計算することができます。また、シミュレーションを行うことで、幾何分布の性質を理解することができます。