PyTorchのHalfCauchy分布を徹底解説！

PyTorchのProbability Distributionsにおけるtorch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy.arg_constraints解説

torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy.arg_constraintsは、HalfCauchy分布の確率密度関数を定義する際に用いられる制約条件です。この制約条件は、分布のパラメータであるscaleに適用されます。

詳細

HalfCauchy分布は、以下の確率密度関数で定義されます。

p(x) = 2 / (pi * scale) * sqrt(1 / (1 + (x / scale)^2))

ここで、scaleは分布の形状パラメータです。scaleが大きくなるにつれて、分布はより平坦になります。

arg_constraintsは、scaleパラメータの許容範囲を定義します。具体的には、以下の式で表現されます。

scale > 0

つまり、scaleパラメータは0より大きい必要があります。

例

以下の例は、HalfCauchy分布の確率密度関数を可視化し、arg_constraintsによってscaleパラメータがどのように制限されるかを示しています。

import torch
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータの設定
scale = torch.linspace(0.1, 10, 100)

# 確率密度関数の計算
pdf = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(torch.linspace(-10, 10, 100))

# 可視化
plt.plot(scale.numpy(), pdf.numpy())
plt.xlabel("scale")
plt.ylabel("log_prob")
plt.show()

この例では、scaleパラメータが0.1から10までの範囲で変化させられています。scaleパラメータが小さくなると、分布はより尖った形状になります。

torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy.arg_constraintsは、HalfCauchy分布の確率密度関数を定義する際に用いられる制約条件です。この制約条件は、scaleパラメータが0より大きいことを保証します。

PyTorchのHalfCauchy分布を使ったサンプルコード

確率密度関数の可視化

import torch
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータの設定
scale = torch.linspace(0.1, 10, 100)

# 確率密度関数の計算
pdf = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(torch.linspace(-10, 10, 100))

# 可視化
plt.plot(scale.numpy(), pdf.numpy())
plt.xlabel("scale")
plt.ylabel("log_prob")
plt.show()

乱数の生成

import torch

# パラメータの設定
scale = torch.tensor(1.0)

# 乱数の生成
dist = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale)
x = dist.rsample((100,))

# 結果の確認
print(x)

このコードは、scaleパラメータが1.0に設定されたHalfCauchy分布から100個の乱数を生成します。

モンテカルロ積分

import torch

# パラメータの設定
scale = torch.tensor(1.0)

# 被積分関数の定義
def f(x):
  return torch.exp(-x**2)

# モンテカルロ積分の計算
dist = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale)
num_samples = 10000
x = dist.rsample((num_samples,))
integral = torch.mean(f(x))

# 結果の確認
print(integral)

このコードは、HalfCauchy分布からモンテカルロ法で定積分を計算します。

ベイズ推論

import torch

# 事前分布の設定
scale_prior = torch.distributions.uniform.Uniform(torch.tensor(0.0), torch.tensor(10.0))

# 観測データの設定
data = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# 尤度関数の定義
def likelihood(scale, data):
  return torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(data)

# 事後分布の計算
posterior = torch.distributions.posterior.Posterior(scale_prior, likelihood, data)

# 事後分布からのサンプリング
scale_samples = posterior.rsample((1000,))

# 結果の確認
print(scale_samples)

このコードは、HalfCauchy分布を用いたベイズ推論の例です。

上記のサンプルコード以外にも、HalfCauchy分布はさまざまな場面で利用できます。

• シミュレーション
• 機械学習
• 統計モデリング

PyTorchのHalfCauchy分布を使うその他の方法

パラメータ推定

最尤法は、観測データに基づいて、尤度関数が最大となるパラメータ推定値を求める方法です。

import torch

# 観測データの設定
data = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# 尤度関数の定義
def likelihood(scale, data):
  return torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(data)

# 最適化アルゴリズムの設定
optimizer = torch.optim.Adam([scale], lr=0.01)

# 最尤推定値の計算
for epoch in range(1000):
  optimizer.zero_grad()
  loss = -likelihood(scale, data)
  loss.backward()
  optimizer.step()

# 結果の確認
print(scale)

このコードは、最尤法を用いてHalfCauchy分布のパラメータ推定値を計算します。

ベイズ推論は、事前分布と尤度関数に基づいて、事後分布を計算する方法です。

import torch

# 事前分布の設定
scale_prior = torch.distributions.uniform.Uniform(torch.tensor(0.0), torch.tensor(10.0))

# 観測データの設定
data = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# 尤度関数の定義
def likelihood(scale, data):
  return torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).log_prob(data)

# 事後分布の計算
posterior = torch.distributions.posterior.Posterior(scale_prior, likelihood, data)

# 事後分布からのサンプリング
scale_samples = posterior.rsample((1000,))

# 結果の確認
print(scale_samples)

このコードは、ベイズ推論を用いてHalfCauchy分布のパラメータ推定値を計算します。

統計的検定

HalfCauchy分布を用いて、仮説検定を行うこともできます。

例

ある母集団の平均値がμであるという仮説を検定したい場合、以下の手順で仮説検定を行うことができます。

1. 帰無仮説と対立仮説を設定します。

   • 帰無仮説：μ = μ0
   • 対立仮説：μ ≠ μ0

2. 検定統計量を選択します。

   • この場合、検定統計量としてt統計量を使用できます。

3. 棄却域を決定します。

   • 棄却域は、有意水準に基づいて決定します。

4. 観測データに基づいて、検定統計量を計算します。

5. p値を計算します。

6. p値が有意水準よりも小さい場合、帰無仮説を棄却します。

import torch

# 観測データの設定
data = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# 仮説の設定
mu0 = 1.5

# 検定統計量の計算
t_stat = (data.mean() - mu0) / (data.std() / torch.sqrt(torch.tensor(len(data))))

# p値の計算
p_value = 2 * torch.distributions.t.cdf(-t_stat, df=len(data)-1)

# 結果の確認
print(t_stat, p_value)

このコードは、t検定を用いてHalfCauchy分布の平均値に関する仮説検定を行います。

シミュレーション

HalfCauchy分布を用いて、さまざまなシミュレーションを行うことができます。

例

• 自然現象のシミュレーション
• 金融市場のシミュレーション
• 機械学習モデルのシミュレーション

import torch

# パラメータの設定
scale = torch.tensor(1.0)

# シミュレーションデータの生成
x = torch.distributions.half_cauchy.HalfCauchy(scale).rsample((1000,))

# 結果の確認
print(x)

このコードは、HalfCauchy分布から1